13 Вопрос

Бесконечно малые функции

  Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.   Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде

( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х₀| < δ ) : | f (x) | < ε.

Бесконечно большие функции

  Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.   В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀ , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут

или

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).   По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

, , , .

Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х₀ < x < х₀ + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

( K > 0) ( δ = δ(K)> 0)( x₀ < х < x₀+δ ) : f (x) > K.

  Предлагается самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при x → + ∞, x → – ∞.

14 Вопрос

Свойства бесконечно малых функций

  Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x₀:

1.
2.
3.
4.

  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x₀ справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.

15 Вопрос

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀). Если

= 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).   Если

= А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).    Если

= ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если

= 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).

2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).

3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).

4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).

5. Так как

, то , и в этом случае имеет место равенство

6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени

.

Поэтому при х = 0 имеем .    Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например,

.

7. Так как , то ln (1 + x) ~ x,

и в этом случае имеет место равенство ln (1 + x) = x + o(x).

8. Так как , то .

9. Так как , то e^x ~ 1 + x,и в этом случае имеет место равенство

e^x ~ 1 + x + o(x).

10. В случае натурального k имеем

поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство

(1 + x)^k = 1 + k·x + o(x)

11. Так как

, то a^x ~ 1 + x·ln a, и в этом случае имеет место равенство a^x ~ 1 + x·ln a + o(x)

12. Так как

, то , и в этом случае имеет место равенство