29. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а; Ь), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = f(x) называет выпуклым вверх на интервале (а; Ь), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции у = f (х), отделяющая его части разой выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема. Если функция у = f(x) во всех точках интервала (а; Ь) имеет отрицательную вторую производную, т. е. f"(x) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх.

Если же f"(x) > 0, для всех X Е (а; Ь) - график выпуклый вниз.

(достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f" (x) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка

графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

30. Алгоритм общего исследования функции с помощью производных, построение графика.

Исследование функции у = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции точки экстремулы (промежутки, на которых f(x) > 0 или f(x) < 0).

4. Определить направление выпуклости и точки перегиба функции (2 производная).

5. Найти асимптоты графика функции.

На основании проведенноro исследования построить график функции.