1.Определение Матрицей A размера m×n называется прямоугольная таблица
чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n столб-
цов. Числа m и n определяют размер матрицы. Условимся обозначать матрицы
прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, . . . . Числа, функции или
алгебраические выражения, образующие матрицу, называются матричными эле-
ментами. Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами. Первый
индекс i=1,2,. . . ,m указывает номер строки, а второй индекс j=1,2,. . . ,n _ номер
столбца, в которых располагается соответствующий элемент. Все строки и столбцы имеют одинаковую длину. Эти числа называются элементами матрицы. Виды матриц: Квадратная, Единичная, Транспонированная, Нулевая, Диагональная
Если у диагональной матрицы n–го порядка все диагональ-
ные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей
n–го порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее
строк равно числу столбцов и равно n:
Матричные элементы aii квадратной матрицы A n×n называются
диагональными (i = 1, 2, . . . , n).
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается АT.
Над матрицами выполняются следующие действия: Сложение, Умножение, Вычитание, Умножение матрицы на число.
Суммой A + B двух матриц A = (aij) и B = (bij) одинакового
размера m × n называется матрица C = (cij), элементы которой
cij = aij + bij
Разность A − B двух матриц одинакового размера определя-
ется с помощью операции умножения матрицы B на число −1 и последующего
сложения матриц A и (−1)B, т. е.
A − B = A + (−1)B .
Умножение матрицы A на матрицу B определено, лишь
когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй.
Тогда произведением матриц A m×k B k×n называется матрица Cm×n , каждый элемент
которой cij равен сумме попарных произведений элементов i–й строки матрицы A
на соответствующие элементы j–го столбца матрицы B, т. е. 1
При умножении матрицы на число необходимо все элименты матрицы умножить на это число
3 . Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).
Свойства определителей
1)Величина Определителя не изменяется, если его строки заменить соответствующими столбцами (заменяя строки, соответствующими столбцами, автоматически будет выполняться другая операция)
2)При перестановке двух строк или столбцов местами величина определителя не изменится, а изменится знак.
3) Определитель с 2-мя знаковыми строками и столбцами равен 0
4) Умножение всех элементов строки или столбца на одно и тоже число равносильно умножение определителя на тоже число
5) Если все элементы строки или столбца равно 0 то и определитель будет равен 0
6) Если элементы двух строк определителя пропорциональны то определитель равен 0
7) Если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки умноженное на другое число то величина определителя не меняется.
4. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Обратная матрица Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Алгебраическим дополнением Аij
элемента аij матрицы n-го порядка
называется его минор, взятый со знаком,
зависящий от номера строки и номера
столбца: то есть алгебраическое дополнение
совпадает с минором, когда сумма номеров
строки и столбца – четное число, и
отличается от минора знаком, когда сумма
номеров строки и столба – нечетное
число. Обра́тная ма́трица — такая
матрица A−1, при умножении на которую,
исходная матрица A даёт в результате
единичную матрицу E:
5. Ранг матрицы и его определение.
Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.
6. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
Пусть для матрицы А порядка n на m существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы
7. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида
8. Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными Ax=b . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя с и к методу нахождения ранга матрицы. Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.
9. Действия над векторами:
1) Сложение векторов. Суммой двух векторов А и В называется вектор С идущей из начало Вектора А в конец вектора В. При условии если начало А совпадает с концом В.
2) Разность векторов. Разностью векторов А и В называется некоторый вектор С идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого при условии что они приведены к общему началу.
3) Умножение вектора на число.
Произведение Вектора на вещественное число К называется вектор В коллениальный вектору А имеющий длину К раз больше чем исходный вектор направлен будет K >0 и противоположный К<0 К=0- нулевой вектор.