2. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений:

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

      a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 … … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^Ax = θ

(2)

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x₁⁰  =  x₂⁰  =   …   =  x_n⁰ = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

3. θ  Img ^A , так как Img ^A — линейное пространство.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

2. Линейные операторы на плоскости и в пространстве. Матрицы основных линейных операторов(поворота и растяжения):

Определение: Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между собой и умножать на действительные числа.

Определение: Отображение A: V → W двух векторных пространств V и W называется линейным оператором (действующим из V в W).

2. Векторное произведение определение и его вычисление:

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;

он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );

его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );

тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат

Найдите длину векторного произведения векторов   и  , если известно  .

Решение:

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов   и   равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними, поэтому,  .

Ответ:

2. Смешанное произведение и его геометрический смысл:

Сме́шанное произведе́ние:   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами  .