14. Дисперсия и ее основные свойства.

Вычисление дисперсии по способу «моментов».

Дисперсия - средний квадрат отклонений от средней арифметической. Является основной мерой вариации.

 – средняя в целом по совокупности; f – частота в целом по совокупности.

Основные свойства дисперсии:

1)если все вариантные х уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия не изменится;

2)если все варианты х разделить или умножить на постоянное число b ≠ 0, то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в b² раз.

Если рассмотреть средний квадрат отклонения от некоторой постоянной с ≠ , то он будет > дисперсии на определенную величину ( - с)².

Тогда можно записать: б² = . Это равенство выполняется при любых значениях C, в т.ч. и при С = 0. - средний квадрат.

Получаем важную в теоретическом и практическом значении формулу: б² = ² – ( )²

– исправленная (несмещенная) дисперсия.

Вычисление дисперсии: используя рассмотренное свойство можно упростить вычисление дисперсии. В начале все варианты уменьшить на постоянную А, затем уменьшить в b раз. Тогда дисперсия определяется:

i — величина интервала ( i = b ); А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой (A = Xк); m1 - квадрат момента первого порядка; m2 - момент второго порядка

Этот способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов, или способом от условного нуля. Он выгоден в тех случаях, если исходная совокупность представлена в виде вариационного ряда распределения с равными интервалами.

15. Групповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсий.

Если совокупность разбить на группы по какому-либо признаку (группировочному), то для результативного признака могут быть исчислены следующие виды дисперсий: общая, межгрупповая и внутригрупповая.

Общая дисперсия характеризует вариации результативного признака за счет всех условных факторов, действующих по данным совокупности.

- общее среднее для всех единиц совокупности; ∑f = n, где n – численность или объем совокупности.

Групповая дисперсия характеризует вариации результативного признака за счет условий и факторов, действующих внутри групп (локализованных в j – группе).

j – № группы;

f – частоты в j – группе (∑f = n, где n – численность или объем группы);

- средняя в этой группе.

= ; =

На основании групповой дисперсии можно определить общую среднюю групповых:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основании группировки.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно по двум известным дисперсиям определить третью, а также судит о силе влияния группировочного признака.

16. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Шкала Чеддока.

Эмпирический коэффициент детерминации - показатель, представляющий собой отношение межгрупповой дисперсии к общей: . Он характеризует долю вариации результативного признака, вызванную вариацией группировочного признака в общей вариации результативного признака.

Общую дисперсию дает суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой:

Эмпирическое корреляционное отношение – корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

; + - =√ ( - _j) / = =√ (1 - _j / )

Оно показывает тесноту связи (силу интенсивности) между группировочным и результативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение так же как и может принимать значение от 0 до 1 ( 0 ≤ ≤ 1), чем ближе к 1, тем точнее связь. Если связь функциональная, то корреляционное отношение = 1.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться шкалой Чеддока.