1.6. Корреляционная зависимость случайных величин. Линии регрессии

Во многих прикладных задачах устанавливают корреляционную зависимость между двумя случайными величинами. Поиск такой зависимости требуется, например, когда измерение одной величины дешевле или проще, чем другой величины, а также, когда зависимость между случайными величинами позволяет установить некоторое новое качество.

Две случайные величины и могут быть связаны функциональной зависимостью, статистической зависимостью или быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Условным средним одной из случайных величин называют ее среднее арифметическое значение при фиксированном значении другой.

Корреляционной зависимостью от называют функциональную зависимость условной средней от : . Это уравнение называют уравнение регрессии, а его график – линией регрессии. Аналогично определяется регрессия на : .

Исходные данные сводятся в корреляционную таблицу

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

где - частота, с которой встретилась пара значений двумерной случайной величины .

Различают две задачи теории корреляции:

1. определение типа корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии (наиболее распространенная – линейная регрессия);

2. оценка тесноты корреляционной связи.

Теснота корреляционной связи линейной регрессии оценивается с помощью коэффициента корреляции

,

основные свойства которого:

1. Для любых исходных данных .

2. С возрастанием линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при переходит в функциональную.

3. Если , то и не связаны линейной корреляционной зависимостью.

Уравнения линейной регрессии имеют вид

, (1)

. (2)

После вычисления с помощью корреляционной таблицы и подстановки его значения в уравнения (1) и (2) эти уравнения приводятся к виду

,

.

Уравнения и определяют прямые регрессии.

Пример. Определение коэффициента корреляции условных средних и построение прямых линии регрессии

Корреляционная таблица

	-0.696	-0.447	-0.198	0.051	0.300	0.548	0.797
0.077	0	2	2	1	0	0	0	5	-1.239	-0.095
0.232	1	2	0	1	0	0	0	4	-1.539	-0.357
0.386	2	1	6	4	1	0	0	14	-2.523	-0.974
0.541	0	0	3	7	1	1	0	19	0.611	0.331
0.695	0	0	0	3	2	2	1	8	2.646	1.839
0.850	0	0	0	3	1	0	0	4	0.453	0.386
1.005	0	0	0	0	0	1	2	3	2.142	2.153
	3	5	11	19	5	4	3	50
	1.004	1.004	4.093	10.275	3.167	2.936	2.705
	-0.699	-0.449	-0.810	0.524	0.950	1.608	2.156

Условные средние при фиксированных значениях

; ; ; ; ; ;

Условные средние при фиксированных значениях

; ; ;

; ; ;

Коэффициент корреляции

,

.

Уравнения линейной регрессии.

, ,

, .

Корреляционное поле. Корреляционное облако. Прямые регрессии.