1.4. Построение теоретических кривых распределения и плотности распределения
По виду графика функции плотности статистической вероятности (в виде колокола) ,а также малым значениям асимметрии и эксцесса мы можем выдвинуть предположение о нормальном распределении случайной величины .
Учитывая, что плотность нормально распределенной случайной величины вычисляется по формуле
где – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение.
Полагая
и
и пользуясь значениями
,
вычисляют
.
После этого в точках
находят значения функции Гаусса
по таблице (приложение 3) или в [1]. Затем
вычисляют функцию плотности вероятности
.
От значений плотности можно перейти к вычислению теоретической вероятности
и теоретической функции нормального
распределения
.
По полученным значениям могут быть
построены теоретические кривые плотности
вероятности
и функции распределения
.
Эти кривые надо сравнить с соответствующими
экспериментальными
.
Пример. Построение теоретических кривых для случайной величины .
Введем случайную величину
.
В примере
;
;
.
|
|
|
|
|
|
|
0.077 |
-0.427 |
-1.741 |
0.088 |
0.358 |
0.055 |
0.055 |
0.232 |
-0.272 |
-1.110 |
0.215 |
0.879 |
0.136 |
0.191 |
0.386 |
-0.117 |
-0.479 |
0.356 |
1.452 |
0.224 |
0.416 |
0.541 |
0.037 |
0.151 |
0.394 |
1.610 |
0.249 |
0.664 |
0.695 |
0.192 |
0.782 |
0.294 |
1.199 |
0.185 |
0.85 |
0.850 |
0.346 |
1.413 |
0.147 |
0.600 |
0.093 |
0.942 |
1.005 |
0.501 |
2.044 |
0.049 |
0.202 |
0.031 |
0.974 |
.
1.5. Проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона
При проверке предположения о виде
распределения случайной величины
выдвигается нулевая гипотеза
(в нашем случае это предположение о том,
что генеральная совокупность распределена
по нормальному закону с параметрами
a
=
,
=s).
Альтернативной является гипотеза
(
генеральная совокупность не распределена
по нормальному закону с параметрами
a
=
,
=s)..
Для проверки гипотезы
оцениваются разности
,
где
– эмпирические частоты,
– теоретические частоты.
Гипотеза верна, когда эмпирические частоты и теоретические частоты мало отличаются друг от друга. Для проверки правильности гипотезы используем случайную величину
Она имеет
-распределение
.зависящее от параметра
-
числa степеней свободы
,
где
– число интервалов группировки,
–
число параметров закона распределения
(для нормального закона
.
Вычисляется наблюденное значение случайной величины
Задается
-вероятность
ошибки отвергнуть гипотезу
в том случае когда она верна(ошибки
первого рода). Из условия P(
>
(
,
))=
находим
величину
по таблице критических точек распределения
(приложение 4) или в [1] по
и
.
Если
,
то нет оснований отвергать гипотезу о
нормальном распределении
,
если
,
то гипотезу
отвергают.
Пример. Проверка гипотезы о нормальном распределении для случайной величины .
– теоретическая вероятность попадания в i–й интервал при справедливости гипотезы о нормальном распределении.
|
|
|
|
|
|
|
0.077 |
5 |
0.055 |
2.764 |
2.236 |
5.001 |
1.81 |
0.232 |
4 |
0.136 |
6.794 |
-2.794 |
7.805 |
1.149 |
0.386 |
14 |
0.224 |
11.218 |
2.782 |
7.742 |
0.69 |
0.541 |
12 |
0.249 |
12.44 |
-0.44 |
0.194 |
0.16 |
0.695 |
8 |
0.185 |
9.267 |
-1.267 |
1.605 |
0.173 |
0.85 |
4 |
0.093 |
4.636 |
-0.636 |
0.405 |
0.087 |
1.005 |
3 |
0.031 |
1.558 |
1.442 |
2.079 |
1.334 |
|
|
|
|
|||
В критерии Пирсона сравниваем две
величины
и
,
которую находим по уровню значимости
и числу степеней свободы
.
Точка
является критической. Если
,
то нет оснований отвергать нашу гипотезу
о нормальном распределении. В нашем
случае
и гипотеза
принимается.