24. Бином Ньютона.

Числа С(n, k) возникают как коэффициенты при раскрытии скобок в биноме (а + Ь)^n. Например,

(a+b)^3=(a + Ь)(а + Ь)(а + Ь) =

=ааа + ааЬ + aba + abb + baa + bab + bba + 666 =

= a^3 + За^2b + Зab^2 + b^3

Каждое из восьми слагаемых, стоящих во второй строке наших преобразований, получается при умножении трех переменных, выбираемых по одной из каждой скобки. Мы видим, в частности, что ровно три слагаемых содержат одну переменную а и две Ь. Это происходит

потому, что у нас есть С(3, 2) = 3 способа выбора двух скобок из трех, откуда мы возьмем переменную b (а из оставшейся берем а).

Аналогично получаются и остальные коэффициенты этого выражения:

С(3, 0) = 1, С(3, 1) = 3, С(3, 2) = 3 и С(3, 3) = 1. Чтобы согласовать полученные числа с формулой для С(п,k), выведенной в предыдушем параграфе, мы должны предполагать, что О! = 1.Иначе говоря, сушествует единственная возможность не сделать никакого выбора из конечного множества объектов.

В обшем случае, раскрывая скобки в биноме (a+b)^n, мы будем получать члены вида a^(n-k) b^k (где к принимает каждое из значений от О до п) при перемножении символов b, взятых из k скобок, и а, взятых из оставшихся (n - k) скобок. Так как есть ровно С(п, к) способов выбора k скобок из n, то у нас будет в точности С(n,k) членов вида а^(n-k) b^k при k= 0, 1, . . . , n.

Следовательно,

(а + Ь)^n = С(n, 0)а^n + С(n, 1)а^(n-1) b + С(n, 2)а^(n-2) b^2 + …+C(n, n)b^n. Эта формула называется биномом Ньютона.

25. Полиномиальная теорема.

Полиномиальная теорема : пусть функции F(n) и G(n) измеряют эффективность 2 алгоритмов, их обычно называют функциями временной сложности, также порядок роста функции F(x) не больше, чем у G(x), если найдется такая положительная константа С, что модуль F(n)<=С* модуль G(n) для всех достаточно больших значений n. Этот факт обозначают как F(x)=O(G(n))

26. Графы. Эйлеровы графы

Графы возникли в восемнадцатом столетии, когда известный математик, Леонард Эйлер, пытался решить теперь уже классическую задачу о Кенигсбергских мостах. Решая эту задачу,

Эйлер изобразил Кенигсберг в виде графа, отождествив его вершины с частями города, а ребра — с мостами, которыми связаны эти части. Эйлеру удалось доказать, что

искомого маршрута обхода города не существует.

Модель задачи — это граф состоящий из множества вершин

и множества ребер соединяющих вершины.

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется эйлеровым графом. Последовательность вершин (может быть и с повторениями), через которые проходит искомый

маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровым циклом. Эйлер заметил, что если в графе есть эйлеров цикл, то для каждого ребра, ведущего в какую-то вершину, должно найтись другое ребро,

выходящее из этой вершины, и получил из этого простого наблюдения такой вывод: если в данном графе сушествует эйлеров цикл, то к каждой вершине должно подходить четное число ребер.

Кроме того, Эйлеру удалось доказать и противоположное утверждение, так что граф, в котором любая пара вершин связана некоторой последовательностью ребер, является Эйлеровым тогда и

только тогда, когда все его вершины имеют четную степень. Степенью

вершины v называется число δ(ν) ребер, ей инцидентных.