21. Размещения с повторениями.

Предположим, что мы берем элементы х1, х2, ..., из множества X мощности к. Каждый такой набор принято называть выборкой объема к; из n элементов или, иначе, (n, k)-выборкой.

(n, k)-размещением с повторениями называется упорядоченная (n, k)-выборка, элементы в которой могут повторяться.

Попробуем подсчитать количество всех различных (n, k)-размещений с повторениями. На первое место выборки мы можем поставить любой из п элементов множества. Поскольку повторения

разрешены, то на второе место мы опять можем поставить любой элемент из этого же множества, и т. д. Поскольку у нас k мест в выборке, то опираясь на правило произведения, получаем, что число всех (n, k)-размещений с повторениями равно п^k

Пример: Целые числа в компьютере представляются строчкой из N двоичных знаков. Первый из них отведен на знак (+ или —), а остальные N — 1 отвечают за модуль целого числа. Сколько различных целых чисел может использовать компьютер?

Решение. Двоичная цифра — это 0 или 1. Для записи числа используется N таких цифр. Заметим, что двоичные строки, представляющие числа, могут иметь повторяющиеся цифры, и порядок их

следования, естественно, существенен для данной задачи. Поэтому мы имеем дело с (2, N)-размещениями с повторениями. По выведенной формуле получаем, что общее количество таких строк равно 2^N.

Практически всегда различные размещения изображают различные

числа, за исключением двух строк:

-000000•••00 и + 000000•••00,

которые изображают 0. Стало быть, компьютер может оперировать

(2^N — 1) целыми числами.

23. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.

Исходя из формулы бинома Ньютона коэффициенты

С(n, k) часто называют биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты полезно выстроить в так называемый треугольник Паскаля

С(0, 0)

С(1, 0) С(1, 1)

С(2, 0) С(2, 1) С(2, 2)

С(3, 0) С(3, 1) С(3, 2) С(3, 3)

С(4, 0) С(4, 1) С(4, 2) С(4, 3) С(4, 4)

С(5, 0) С(5, 1) С(5, 2) С(5, 3) С(5, 4) С(5, 5)

… … …

С(n, 0) С(n, 1) … … С(n, n - 1) С(n, n)

Каждая (п + 1)-ая строка этого треугольника состоит из биномиальных коэффициентов, получающихся при раскрытии скобок в выражении (а + Ь)^n. На внешних сторонах треугольника

Паскаля всегда стоят единицы. Симметрия относительно вертикальной высоты треугольника следует из тождества: С(п,k) = С(п, п — k).

Есть и другие закономерности, которые бросаются в глаза при взгляде на треугольник Паскаля. Например, сложив два последовательных числа, стоящих в строке треугольника, мы получим число из следующей строки, которое стоит между двумя сложенными. Это свойство известно как формула Паскаля:

С(п - 1, k - 1) + С(n- 1, k) = С(n, k),справедливая при О < k< п.

Cвойства:

1. С(n,k)=C(n,n-k)

2. C(n,0)=C(n,n)=1

3. C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)