53. Незатухающие колебания.

П ри отсутствии в цепи омического сопротивления (R = 0) и генератора e. процесс изменения заряда со временем в колебательном контуре описывается уравнением

Д омножив это на и введя обозначение, (w₀ - циклическая частота) можно привести его к виду:

Решение этого уравнения, описывающего колебания заряда в LC-контуре, имеет вид

q = q₀ cos(w₀t + j).

Постоянные q₀ и j определяются начальными условиями, например значениями тока и заряда при t = 0.

П олученное соотношение описывает и движение груза на пружине ( r и F(t) равны нулю)

если сопоставить q ® x, L ® m, 1/C ® k, ,

x = x₀ cos(w₀t + j).

Возникновение колебаний в контуре, состоящем из емкости С и индуктивности L, связано с периодическим превращением энергии электрического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора , в энергию магнитного поля и обратно благодаря наличию инерционного элемента – индуктивности.

Первоначально локализованный на обкладках конденсатора заряд начинает разряжаться через катушку индуктивности.

Благодаря явлению самоиндукции ток в цепи нарастает постепенно до тех пор, пока вся энергия конденсатора не превратится в энергию магнитного поля.

В этот момент заряд на обкладках конденсатора станет равным нулю, а ток в катушке индуктивности достигнет максимума.

Далее ток, не изменяя направления, начнет убывать, но в силу явления электромагнитной индукции ток не сразу упадет до нуля, а будет спадать постепенно.

При этом нижняя пластина конденсатора будет постепенно заряжаться положительно, а верхняя отрицательно.

Возникающее электрическое поле будет тормозить движение зарядов, и постепенно ток в цепи упадет до нуля.

В этот момент заряд на обкладках конденсатора и энергия электрического поля достигнут максимума, а энергия магнитного поля вновь станет равной нулю.

Но заряд на обкладках конденсатора уже сменил знак. К этому времени завершится первый полупериод в колебательном контуре.

Во время второго полупериода ток течет в обратном направлении, увеличивая энергию магнитного поля, как только ток достигнет максимума, начнется новая перезарядка конденсатора.

Эти процессы перезарядки можно сопоставить с колебаниями маятника, где максимальное отклонение тела от положения равновесия соответствует максимальному заряду конденсатора, а максимальная кинетическая энергия маятника в нижней точке траектории аналогична полному переходу энергии конденсатора в энергию магнитного поля - максимальному току в цепи.

В колебательном контуре без активного сопротивления сумма энергий электрического и магнитного полей, запасенных в конденсаторе и катушке индуктивности, остается постоянной.

Свободные незатухающие колебания совершаются системой по закону синуса или косинуса - называются гармоническими колебаниями.

Система возвращается в исходное состояние через минимальное время Т₀ - период колебаний

q(t + T₀) = q(t).

Д ля гармонических колебаний

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний

- собственная или резонансная частота колебательного контура.

Единицей измерения частоты колебаний служит Герц [Гц]=1/[с].

Частоте в один герц соответствует частота, при которой за секунду происходит одно полное колебание.

Величина q₀ называется амплитудой, а (w₀t + j) - фазой колебаний, постоянная j - начальная фаза колебаний.