- •Вопросы по курсу для пи-101
- •Верные цифры.
- •Вычисление значений элементарных функций.
- •Вычисление значений алгебраического многочлена (метод Горнера).
- •Вычисление значений аналитических функций и степенные ряды.
- •Отделение корней.
- •Оценки корней алгебраических уравнений.
- •Основные методы уточнения корней уравнения (дихотомии, хорд, касательных, простой итерации).
- •Решение систем нелинейных уравнений.
- •Метод Гаусса (схема полного исключения, сведение к треугольной матрице, проблема погрешности, схема главных элементов).
- •Разложение матрицы в произведение треугольных и метод Краута.
- •Метод квадратных корней.
- •Метод простой итерации и сходимость итераций.
- •Метод Зейделя.
- •Метод прогонки для систем с трехдиагональной матрицей.
- •Краткая характеристика других методов.
- •Проблема собственных значений и методы ее решения.
- •Поиск максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора (степенной метод, метод скалярных произведений).
- •Среднеквадратическая аппроксимация и метод наименьших квадратов.
- •Аппроксимация ортогональными многочленами.
- •Равномерная аппроксимация функций (понятие).
- •Интерполяция функций.
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •Конечные разности.
- •Интерполяционные формлы.
- •Интерполирование на неравномерной сетке
- •Интерполирование сплайнами.
- •Численное интегрирование.
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Кубатурные формулы.
- •Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло.
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Задача Коши: постановка и пути решение.
- •Простейшие методы решения задачи Коши.
- •Методы Рунге-Кутта.
- •Решение задачи Коши для систем уравнений.
- •Краевые задачи. Разностные методы. Метод прогонки.
- •9.7. Разностные методы для краевых задач. Метод прогонки
- •Предполагается, что слушатель курса знаком с курсом элементарной и высшей математики и обладает достаточными понятиями о следующих вопросах.
- •Предполагается знакомство с возможностями системы MatLab и способность реализовать предлагаемый метод (алгоритм) средствами известных универсальных языков программирования.
Краткая характеристика других методов.
За пределами нашего рассмотрения осталось достаточно много других методов решения линейных алгебраических систем.
Среди прямых методов рядом достоинств обладает метод отражений, который сводит исходную систему к системе с верхней треугольной матрицей при помощи т.н. ортогональных матриц отражения [6,23].
Можно среди прямых методов упомянуть метод окаймления [2] и метод ортогонализации [6], среди итерационных - метод сопряженных градиентов [6, 2] и метод подавления компонент [6].
Для решения систем высокого порядка используют клеточные методы, сводящие исходную задачу к последовательному перебору клеток матрицы коэффициентов и обращению матриц для этих клеток [6].
Особого рассмотрения заслуживают “плохо обусловленные” системы, где определитель матрицы близок к нулю. Здесь малейшее изменение исходных данных ведет к значительному изменению решения (решение неустойчиво по исходным данным). В принципе может обнаружиться и отсутствие решения - несовместность системы.
Разрешение такой ситуации, связанной обычно с некорректной постановкой задачи, предлагает метод регуляризации А.Н.Тихонова, сводящий исходную систему A X = B к всегда совместной системе
( ATA + E ) X = ATB , > 0 , ( 26 )
где AT- транспонированная матрица, E - единичная матрица, параметр выбирается с учетом требуемой точности решения и погрешности исходных данных [23].
Решение (26) дает для исходной системы т.н. нормальное решение (решение X системы A X = B является нормальным, если его скалярные произведения со всеми линейно независимыми решениями обращаются в нуль). При поиске любого из решений вместо (26) берут систему
ATA X = ATB , ( 27 )
решаемую методом квадратных корней или каким-то другим методом.
К решению (27) сводится и случай переопределенных систем, где число уравнений m превышает число переменных n. Решение таких систем иногда выполняют с учетом предпочтений. Здесь выбирают r уравнений и r неизвестных (r < n), полученную систему решают точно, а для системы оставшиеся m-r уравнений с n-r неизвестными решают методом наименьших квадратов (этот метод мы рассмотрим при изучении приемов аппроксимации; по существу он сводится к решению (27)).
Проблема собственных значений и методы ее решения.
Поиск максимального по модулю собственного числа и соответствующего собственного вектора (степенной метод, метод скалярных произведений).
Собственные вектор матрицы это такой ненулевой вектор Х, при котором (A -uE)x=0, u - собственное значение матрицы, E - единичная матрица.
Сначала находят собственные значения матрицы. Чтобы это сделать нужно составить и решить характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение равно определителю матрицы |A-uE|, у такой матрицы нужно у всех элементов главной диагонали отнять u и потом уже вычислять определитель, это и будет уравнение. Решаем как угодно, корни этого уравнения будут собственными значениями. Теперь можно найти и собственные вектора (для каждого значения свой вектор, если они не совпадают конечно). Чтобы найти вектор нужно подставить в матрицу у которой мы находили определитель
A-uE собственное значение, которое нашли и решить это уравнение, так вы найдете иксы, которые и являются собственным вектором. И так решаем для каждого собственного значения.
Так находят векторы и значения в ручную. Есть методы итерационные. Первый это Степенной метод. Здесь нам нужно выбрать начальный вектор приближения, выбираем любой. Умножаем его на нашу матрицу и получаем какой-то вектор (это первая итерация) и в этом вектор нужно найти максимальный элемент по модулю. Нашли максимальный и теперь находим следующее приближение Х*, чтобы его найти нужно разделить все элементы вектора на его максимальный элемент (который уже нашли). Теперь вновь умножаем матрицу на X* и находим максимум здесь, делим все элементы на максимум и находим новый X* и т.д.
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.
Аппроксима́ция, или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.
В качестве критерия согласия используют три условия:
1) точное совпадение значений искомой функции с “экспериментом” - со значениями в узлах таблицы (критерий интерполяции);
2) сумма квадратов отклонений значений искомой и табличной функций минимальна (критерий среднеквадратической аппроксимации);
3) максимальное по абсолютной величине из отклонений значений искомой и табличной функций минимально (критерий равномерной аппроксимации).