Решение задачи Коши для систем уравнений.

Рассмотренные выше методы Эйлера и Рунге со всеми их модификациями практически без каких-либо затруднений распространяются и на задачу Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть отыскивается вектор-функция

Y(x)={ y⁽¹⁾(x), y⁽²⁾(x), ..., y^(m)(x)}, (16)

являющаяся решением системы уравнений

(17)

при условиях

. (18)

Если обобщить на эту задачу приведенные ранее формулы метода Рунге-Кутта, то здесь они запишутся в форме:

(19)

Аналогичные обобщения можно построить и для других рассмотренных выше методов. Незначительные изменения произойдут в системе контроля достижения точности последовательным уменьшением шага; здесь сравнению с заданной точностью следует подвергать максимальное из значений погрешностей по всем искомым функциям решений.

Краевые задачи. Разностные методы. Метод прогонки.

Пусть требуется найти функцию y=y(x) , являющуюся решением обыкновенного дифференциального уравнения

F ( x , y , y’ , y’’ , .. ,y⁽ⁿ⁾ ) = 0

и удовлетворяющую n условиям на функцию и ее производные, заданным на концах интервала [ A,B ] .

В такой постановке мы имеем дело с т.н. краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения.

Возьмем для примера линейное уравнение второго порядка

(25)

и рассмотрим различные формы краевых условий.

Краевые условия типа

y(A)=₁(A) , y(B)=₂(B) (26)

определяют первую краевую задачу, или задачу Дирихле.

Краевые условия с заданием значений производных

y’(A)=₁(A) , y’(B)=₂(B) (27)

определяют вторую краевую задачу, или задачу Неймана.

Все остальные формы краевых условий, представимые как

, (28)

определяют третью краевую задачу - задачу со смешанными условиями.

Примером подобных задач служит задача стационарного распределении температуры в неоднородном стержне, описываемая уравнением [3]

, (29)

где k(x) - коэффициент теплопроводности материала стержня, q(x) - коэффициент теплообмена с внешней средой, f(x)=F(x)q(x)(x), F(x)- плотность внутренних источников, (x) - температура окружающей среды.

Краевые условия I-го рода соответствуют поддержанию на концах стержня постоянной температуры, краевые условия второго рода соответствуют фиксированным на концах стержня тепловым потокам, а условия третьего рода - т.н. теплообмену по закону Ньютона.

9.7. Разностные методы для краевых задач. Метод прогонки

Разностным методам решения краевых задач посвящена обширная литература [ 2,4,10,25 ]. Здесь мы рассмотрим самые простейшие из них, не вдаваясь в подробности.

Основной подход к решению такого рода задач связан с использованием аппарата конечноразностной аппроксимации.

Здесь область изменения аргумента заменяется дискретным множеством узлов (сеткой узлов) x_k = x₀ + k h , k=0,1,...,n и производные заменяются их конечноразностным представлением с той или иной точностью аппроксимации. Так при точности порядка O(h²) можно использовать представления:

(30)

(31)

. (32)

Разумеется, можно использовать и более точные аппроксимации с большим числом учитываемых узлов [ 2,4, 18 ] .

Если рассмотреть уравнение (25)

,

то его аппроксимация во внутренних узлах сетки дает систему n-1 линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными

Если выбранная система уравнений достаточно хорошо аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение и ее решение непрерывно зависит от изменения правой части уравнения и начальных (граничных) условий ( в этом случае говорят об устойчивости схемы), то при h0 решение этой системы сходится к решению поставленной задачи.

Вводя обозначения

(33)

получаем

. (34)

Допустим, что для рассматриваемого уравнения поставлена задача Дирихле, т.е. значения y₀ и y_n - заданные величины.

Решение (34) при достаточно больших n точными методами нереально из-за колоссальной вычислительной погрешности, решение итерационными требует значительных временных затрат. Однако с учетом трехдиагональности матрицы коэффициентов при неизвестных можно воспользоваться специальным приемом - методом прогонки.

Пусть

y_k = P_k y_k+1 + Q_k , k=0,1,2,...,n-1 . (35)

Подставляя в (34), получаем

(36)

откуда получаем

(37)

Поскольку величина y₀ известна, то можно принять P₀ =0, Q₀ =y₀ и в соответствии с (36) найти прогоночные коэффициенты. Зная величину y_n, можно с помощью (36) обратным ходом (в порядке убывания k) найти искомое решение.

Если рассматривается вторая краевая задача

y’(x₀) = _A , y’(x_n) = _B , (38)

то систему (36) придется дополнить c учетом (31)-(32)

. (39)

Из (34) имеем

. (40)

Подставив выражение y₂ из (39) в (40) и сопоставив с (35), получаем

, (41)

что в совокупности с (37) дает возможность определения всех прогоночных коэффициентов (35).

Подставив выражение y_n-2 из (39) в (40) , получаем

и, обозначив

, (42)

с учетом (35) имеем

, (43)

что позволяет осуществить “обратный ход” прогонки - поиск решения уравнения.

Аналогичный подход может быть использован и при решении третьей краевой задачи. К сожалению, существует много краевых задач для нелинейных уравнений, решение которых не столь просто.