Вычисление несобственных интегралов.
Интеграл по неограниченному промежутку
расходится при 1 и сходится при >1 .
Но даже при уверенности в сходимости интеграла прямое применение квадратурной формулы нереально из-за необходимости как-то ограничить интервал интегрирования и затем долго дробить его на подынтервалы с надеждой добиться близости оценок. С такими ф-ми поступаем так. Так для интегралов
,
где f(x) - ограниченная знакопостоянная функция, при x стремящаяся к нулю быстрее чем 1/x , разумно найти корни синуса и заменить этот интеграл суммой интегралов
;
вычисление каждого из интегралов можно вести обычным путем по облюбованной квадратурной формуле (с точностью, например, на порядок выше заданной) и перебирать эти интегралы до тех пор, пока оценка очередного интеграла (или отношение ее к сумме предыдущих интегралов) не окажется меньше заданной точности (это следует из теоремы - утверждения о том, что погрешность вычисления суммы знакочередующегося ряда не превышает величины отбрасываемого члена).
Если для f(x) отсутствует ограничение знакопостоянства, то такой подход иногда может привести к неверным результатам (по возможности найдите не только корни синуса, но и корни f(x)).
Если подынтегральная функция знакопостоянна, то можно зафиксировать постоянную длину подынтервалов и последовательно накапливать сумму соответствующих оценок интегралов до тех пор, пока не выполнятся условия по точности (обычно завышенной на порядок).
Кубатурные формулы.
При вычислении двойных интегралов вместо термина “квадратурная формула” используется термин “кубатурная формула”.
Для построения кубатурной формулы берется сетка (равномерная или неравномерная) точек, покрывающая область интегрирования, и строится формула
. ( 24 )
Например, если область интегрирования есть прямоугольник
S = [ a x b , c y d ] ,
то можно построить кубатурную формулу Симпсона [9]
,
где h
= b
- a
, k
= d
- c
.
Для многоточечной ( 2n разбиений по x и 2m - по y ) кубатурная формула Симпсона имеет вид
;(25)
ee коэффициенты есть элементы матрицы:
|
1 |
4 |
2 |
4 |
2 |
... |
4 |
2 |
4 |
1 |
|
4 |
16 |
8 |
16 |
8 |
... |
16 |
8 |
16 |
4 |
|
2 |
8 |
4 |
8 |
4 |
... |
8 |
4 |
8 |
2 |
= |
... |
... |
... |
... |
.... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
2 |
8 |
4 |
8 |
4 |
... |
8 |
4 |
8 |
2 |
|
4 |
16 |
8 |
16 |
8 |
... |
16 |
8 |
16 |
4 |
|
1 |
4 |
2 |
4 |
2 |
... |
4 |
2 |
4 |
1 |