Конечные разности.

Пусть имеется таблица значений f_k функции F(x) для равноотстоящих значений аргумента x_k = x₀+kh ( k=0, 1, 2,..,N ).

Величины

 f_k= f_k+1  f_k ( k=0, 1, 2,..,N-1 ) (45)

называются конечными разностями первого порядка,

²f_k = f_k+1 - f_k = f_k+2 -2 f_k+1 +f_k (k=0, 1, 2,..,N-2) (46)

- конечными разностями второго порядка и т.д.

Обычно конечные разности записывают в виде таблиц; например,

xk	fk	 fk	2fk	3fk	4fk
0	1	2	4	0	0
1	3	6	4	0
2	9	10	4
3	19	14
4	33

Можно показать, что отношение ^mf_k / h^k может быть принято за оценку m-й производной функции в точке x_k . Возьмем для примера m=2.

Разложим f(x_k+2h) и f(x_k+h) в ряд Тейлора в окрестности x_k

и, подставив в ²f_k , получаем

²f_k=f_k+2 -2 f_k+1 +f_k = h² f (x_k) + h³ f(x_k) + ... ,

откуда

f(x_k) =

г

xk	fk	 fk	2fk
0	1	2	4
1	3	6	4
2	9	10	4
3	19	14	4
4	33	18	4
5	51	22
6	73

де O(h) - величина порядка h.

Очевидно, что для функции - многочлена m-го порядка конечные разности m -го порядка должны быть одинаковыми, а m+1 - е и более высоких порядков - нулевыми. Эти соображения могут быть положены в основу табличной экстраполяции (расширения). Так, обнаружив в приведенной таблице постоянство вторых разностей обратным ходом пополняем ее за пределами исходного диапазона.

При практическом использовании конечных разностей следует учитывать быстрый рост погрешности.