Численные методы анализа
Вопросы по курсу для пи-101
2012
ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ.
Абсолютная и относительная погрешность.
Пусть а - приближенное значение числа А. Величина ½а-А½ называется абсолютной погрешностью приближенного числа (предельной абсолютной погрешности.)
Если мы можем указать по возможности малое число D>0 такое, что ½а- А½<D , то D назовем предельной абсолютной погрешностью. Например, если мы найдем значение корня из 2, ограничившись двумя знаками после десятичной точки, то погрешность не превышает 0. 005.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует результат. Так при вычислениях, связанных с миллиардами рублей, точность до рубля едва ли разумна, да и часто недостижима .
понятие предельной относительной погрешности
.
Очевидно, что в реальности при неизвестном А приходится использовать деление на |a|, если |D| << |a|.
Верные цифры.
а =± ( а1 q n+a2 q n-1+...+ am q n-m+1+...) , а1 0.
Все присутствующие здесь цифры являются называются значащими.
Цифру am называют верной, если для абсолютной погрешности числа имеет место неравенство £ Q × qn-m+1, где 0.5 £ Q £ 1 , и в противном случае - сомнительной. Чаще всего берут Q равным 0.5 или 1 и говорят о верных цифрах по правилу дополнения или верных цифрах вообще.
Так для десятичного числа 512.43 при абсолютной погрешности 0.08 сомнительны две последние цифры, а при погрешности 0.01 - только последняя.
При £ Q×10-2 запись 3.14 содержит только верные цифры, тогда как запись 3.140 неправильна (последняя цифра сомнительна).
Практика вычислений предлагает для обеспечения результата с заданным числом верных значащих цифр проводить промежуточные вычисления с количеством значащих цифр, на одну или две большим заданного.
Если число имеет m верных десятичных знаков, то его относительная погрешность =/a Q × qn-m+1 / а1 q n не превышает 10-(m-1) , деленное на первую его значащую цифру. Так для числа 3.1415 c пятью значащими цифрами (m=5) относительная погрешность меньше 0.0001 / 3 .
При m > 1 эта величина может быть взята вдвое меньшей
.
C учетом сказанного выше можно выяснить необходимое число знаков для вычислений с заданной относительной погрешностью. Например, необходимое число знаков при вычислении квадратного корня из 20 при относительной погрешности в 0.1 % определяется следующим путем.
Первая цифра корня равна 4 и = 0.001; из условия 101-m/4 <0.001 получаем m ³ 4 , т.е. достаточно взять 4 значащих цифры.
Обратите внимание на правила округления, которыми подчас пренебрегают.
Поэтому (для очень больших или малых чисел) предпочтительнее получать машинный результат в нормализованном виде (с заранее известном число значащих цифр, из которых часть неверна), хотя это не совсем эстетично, и выполнять округления до нужного числа верных цифр вручную. Тем не менее, округляя число 0.23456789×106 до 4 значащих цифр, получаем 0.2346×106 или 2345×102 , но не 234600.
Любая цифра отличная от нуля и все нули между значащими цифрами => значащие цифры
Предшествующие 0 – не значащие.
Последующие 0 – есть запитая – значащие, нет запятой – зависит от точности вычислений.
Погрешности элементарных операций.
Сумма абсолютных погрешностей операндов не превышает абсолютной погрешности суммы.
Относительная погрешность произведения(частного) не превышает относительных погрешностей операндов.
Не имеет смысла сохранять точность операндов большую, чем точность наименее точного операнда
Прямая и обратная задачи теории погрешностей.
Для абсолютной и относительной погрешностей при вычислении функции u(X) можно установить приближенные оценки вида:
,
где Dxi - абсолютные погрешности аргументов.
Так при вычислении квадратного корня обнаруживаем
,
.
Определенный интерес представляет и обратная задача теории погрешностей - поиск абсолютных погрешностей аргументов по требуемой абсолютной погрешности результата.
множество решений. Одно из таковых базируется на принципе равных влияний (каждый из аргументов вносит одинаковую абсолютную погрешность в общую погрешность результата) и имеет вид:
.
Это соотношение при единственном аргументе упрощается к виду:
,
что позволяет определять точность задания аргумента при требуемой точности значения функции.