Примеры использования матричных операций в экономических задачах

Пример 1. Данные о доходах (тыс. ден. ед.) холдинговой компании по трем регионам трех компаний за 2000 и 2002 гг. представлены в матри­цах А и В:

Здесь элемент a_ij матрицы А означает доход i-й компании в j-м ре­гионе за 2000 г. Аналогично – для матрицы В, но за 2002 г. Вычислите матрицу С приростов доходов за период с 2000 по 2002 г. и проанализи­руйте ее. Рассчитайте матрицу С_ср, характеризующую средние разме­ры приростов доходов компаний холдинга за год.

Решение.

1) Матрица С приростов доходов за рассматриваемый период равна:

С = В – А.

Элементы матрицы С выражают изменение доходов с 2000 по 2002 г. Так, третья компания по первому региону потерпела убытки в размере 40 тыс. ден. ед. (c₃₁ = - 40), эта же компания (третья) по третьему ре­гиону в этот же период не принесла доходов (с₃₃ = 0).

2) Матрица С_ср, характеризующая средние размеры приростов до­ходов компаний холдинга за год, равна матрице С, деленной на n — ко­личество лет в рассматриваемом периоде. В период с 2000 по 2002 г. входит 2 года (т.е. 2000 и 2001гг.), значит, n = 2, тогда: С_ср = C/2

Пример 2. Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу про­дукции каждого вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в таблице.

Показатель	Норма затрат сырья на единицу продукции, у. е.
	I тип	II тип	III тип
Вид продукции 1	5	4	2
2	3	1	0
3	1	3	7
Себестоимость единицы сырья, ден. ед.	3	4	3
Стоимость доставки единицы сырья, ден. ед.	1	2	2

Каковы общие затраты предприятия на производство 100 у.е. продукции первого вида, 75 у.е. второго вида и 50 у.е. третьего вида?

Решение.

Нормы расходов сырья на единицу продукции запишем в виде мат­рицы А:

,

у которой элементы а_ij выражают количество сырья j-го типа на изго­товление единицы изделия i-го вида. Пусть матрица С характеризует себестоимость единицы сырья и стоимость доставки единицы сырья:

Объем производства продукции задается матрицей-столбцом

Чтобы определить общие затраты S на производство продукции данного объема Q, надо знать затраты Р на сырье для производства еди­ницы продукции каждого вида и его доставку. Для этого умножим матрицу расходов А на матрицу С^т. Получим:

P = A · С^т

Тогда суммарные затраты составят S = Q^T · P:

Пример 3. Фабрика специализируется на выпуске изделий трех ти­пов. При этом используется сырье трех видов: S_1, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на единицу продукции каждого типа и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья	Нормы расхода на единицу продукции			Объем сырья
	1 тип	II тип	III тип	на 1 день
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

Найдите ежедневный объем выпуска продукции каждого типа, учитывая, что сырье должно быть использовано полностью.

Решение.

Матрица нормы расхода имеет вид:

Матрица запаса сырья имеет вид:

Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х_1, х₂ и х₃:

X = [х₁ х₂ х₃]^T . Тогда условие задачи можно записать в виде матрич­ного уравнения АХ = В, откуда X =А^-1В, при условии, что А^-1 сущест­вует.

Пример 4. В таблице приведены расценки на выполнение работ для каждого вида оборудования.

	Нормативы по видам оборудования, ден.ед.			Полные затраты на экс- плуатацию, ден.ед.
Вид работ
	механическое	тепловое	энергетическое
Техническое обслуживание	3	1	4	85
Текущие услуги	2	2	3	82
Капитальный ремонт	10	20	15	580

Найдите расчетные объемы работ (количество часов использования оборудования), которые смогут окупить затраты на эксплуатацию.

Решение.

П усть необходимо х₁ ч работы механического оборудования, х₂ ч работы теплового оборудования и х₃ ч работы энергетического оборудования, чтобы окупить затраты на техническое обслуживание, текущие услуги и капитальный ремонт. Тогда из условий задачи следует система уравнений:

3х₁ + х₂ + 4х₃ = 85

2х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 82

10х₁ +20 х₂ + 15х₃ = 580

или в матричной форме АХ = В,

где

Чтобы окупить затраты на эксплуатацию, оборудование должно иметь следующий объем работ: механическое оборудование – 12 ч работы; тепловое – 17 ч; энергетическое – 8 ч.