24. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, сто произойдёт некоторое другое событие, имеющее вероятность ≠0. Такие вероятности называются условными.

Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В) или

при (Р(В)≠0)>0

Формула умножения вероятности.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)

Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В) (11) -теорема умножения вероятностей

Вероятностное совместное наступление 2-ух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что они уже произошли.

Если Р(В/А)=Р(В), то событие В называется независимым от события А.

Независимость является взаимным свойством. Если Р(В/А)=Р(В), то и Р(А/В)=Р(А)

Когда А и В независимые события, то ф-ла (11) принимает вид: Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность наступления хотя бы одного события А из независимых в совокупности событий А1, А2, …, Аn – есть величина:

Р(А)=1-Р( 1)*Р( 2)*…*Р( n)=

Р(А)=1-q₁*q₂*…*q_n, где q_k=Р( ), k=

Р+q=1

25. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n попарно-независимые и образуют полную группу событий: . Такие события называются гипотезами.

Допустим, что событие А может произойти только совместно с одним из n-числа появлений Н₁, Н₂, …, Н_n. Тогда событие А представляет собой:

А= Н₁*А+ Н₂*А+ …+Н_n*А

Применяя для несовместных событий получим:

Р(А)=Р(Н₁А+Н₂А+…+Н_nА)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)

Формула полной вероятности:

Р(А)= =Р(Н₁)*Р(А/Н₁)+Р(Н₂)*Р(А/Н₂)+…+Р(Н_n)*Р(А/Н_n)

Теорема: вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образует полную группу событий, = сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

Формула Байеса.(ф-ла гипотез)

Пусть Н₁, Н₂, …, Н_n – попарно-несовместные события с вероятностями Р(Н_i)≠0, i=1,n. И события А⊂ Н₁+ Н₂₊ …+ Н_n, для которого известны условные вероятности. Произведём опыт, в результате которого появилась вероятность А. Необходимо определить условные вероятности событий Н₁, Н₂, …, Н_n относительно события А. Применяя теорему умножения вероятностей:Р(А/Н)=Р(А)*Р(Н_к/А)=Р(Н_к)*Р(А/Н_к)⇒Р(Н_к/А)= Даёт возможность определить апостериорные (после опыта) вероятности Р(Н_к/А), если известны априорные (до опыта) вероятности.

Р(Н_к)- вероятность гипотез, образующих полную группу событий.

Ф-ла Байеса служит для принятий решений после проведения эксперимента. Для того, чтобы выбор правдоподобной гипотезы имел достаточно оснований, необходимо, чтобы в результате эксперимента её послеопытная вероятность была близка к 0 или 1.

Если доопытные вероятности гипотез неизвестны, их полагают одинаковыми. Р(Н_к)=Р(Н₂)=…=Р(Н_n) в этом случает ф-ла Байеса примет вид: Р(Н_к/А)=