19.Системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы ду.
Система вида
y1`= a11y1+a12y2+a1nyn ; y2`= a21y1+a22y2+a2nyn……;Yn`= an1y1+an2y2+annyn называется нормальная линейная однородная система ДУ с постоянными коэффициентами, ее векторно-матричный вид:
y`=A*
a11 a12 … a1n
A= a21 a22 … a2n
………………...
an1 an2 … ann
y1
= y2
...
yn
Равенство пред.собой
уравнения относительно
,
называют характеристическим уравнением
системы:
(a11 - ) a12 … a1n
det=
=
a21 (a22-
)
… a2n = 0
……………………………
an1 an2 … (ann- )
20. Решение системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.
Решение по методу
Эйлера : y1=
1*e
;
y2=
2*e
;
yn=
n*e
,
1,
2,
n,
=const,
подлежащие определению. Подставив yn
и сократив
на e
не равное нулю,получим:
(a11- )* 1+a12* 2+ … +a1n* n =0
a21 * 1+(a22- )* 2+ … +a2n* n =0
……………………………………….
an1* 1+an2* 2+ … +(ann- )* n =0
Это система n лин однородных алгебраических уравнений с n неизвестных 1 , 2 .. n
Для того чтобы она имела не нулевое решение ,необходимо и достаточно чтобы ее определитель =0.
(a11 - ) a12 … a1n
det= = a21 (a22- ) … a2n = 0
……………………………
an1 an2 … (ann- )
Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения 1 … n действительные и различные. Подставим их поочередно в систему и решив ее находим n линейных независимых собственных векторов матрицы А:
11 12 1n
1
=
21
2
=
22
………..
n
=
2n
… … …
n1 n2 nn
Этим собственным векторам соответ. N векторов решения системы:
11
* e
12
* e
y1= 21 * e y2 = 22 * e …..
… …..
n1
* e
n2
* e
Общее решение системы: = С1* 1(x)+С2* 2 (x)+…+Cn* n(x)
21. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
Событие наз-ся случайным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти.
Событие наз-ся достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Невозможным наз-ся событие, которое в условиях данного эксперимента не может произойти.
Различают элементарные и составные события. События, кот. невозможно разложить на более простые, наз-ся элементарными. Все остальные - составными.
Каждое составное событие представляется суммой элементарных событий.
Множество всех элементарных событий в условиях данного эксперимента наз-ся пространством элементарных событий(Ω). Тогда сами элементарные события являются точками этого пространства.
Событием является любое множество А пространства Ω. Говорят, что событие А произошло, если исход опыта ωϵА.
События наз-ся несовместными, если появление одного исключает появление другого в условиях одного и того же опыта.
Событие
,
которое обязательно произойдёт, если
не произойдёт событие А, наз-ся
противоположным событием.
Несколько событий в условиях данного эксперимента образуют полную группу событий, если в результате опыта обязано произойти хотя бы одно из них.
Алгебра событий.
Между событиями системы Ω могут существовать след. связи:
1)если при каждом осуществлении комплекса
условий, при котором происходит событие
А, происходит событие В, то говорят, А
влечёт за собой В (А
В;
В⊂А)
2)если при каждой реализации комплекса условий события А и В оба наступили или не наступили, то А и В равносильны (А=В)
3) Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В
4) Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В
5) Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет
6)событие (
,
состоящее в том, что событие А не
происходит, называется противоположным
для события А. Для двух противоположных
событий А и
выполняется соотношение, что А+
=Ω
7)Два события называются несовместными, если их совместное появление невозможно А*В≠0