15.Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) для отыскания частного решения линейного неоднородного ду 2-ого порядка.
Сис-ма (56) будет иметь вид:
– част. реш-ие
16. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим ур-ие
,
где a1,a2,…,an
– заданные ф-ии от x
или постоянные числа.
Предположим, что
известно общ. реш-ие
соответств-его однород. ур-ия
Для специального вида ур-ия (57) частное реш-ие можно найти с пом-ю метода неопр-ых коэф-ов (без применения операции интегрирования). Этот метод исп-ся если правая часть ур-ия (56) имеет вид:
Это многочлены с
действительными коэффициентами степеней
m
и n
соответственно. α
и β – действ-ые
числа. Частные случаи выраж-ия (58) и (59)
сведем в таблицу.
Правая часть f(x) Д.У. |
Корни характерист-ого ур-ия |
Вид частного реш-ия |
1) f(x)=Pn(x) |
Если λ=0 то –не явл-ся корнем хар. ур-ия
Если λ=0 – яв-ся корнем хар. ур. |
|
2)
|
Λ=α – не яв-ся корнем хар. ур-ия
Λ=λ – яв-ся корнем хар. ур-ия |
|
3)
|
Λ=α+iβ – не яв-ся корнем хар. ур-ия
Λ=α+iβ - яв-ся корнем хар. ур-ия |
|
17. Системы ду. Нормальные системы. Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы ду. Задача Коши для системы ду.
Существуют процессы, которые невозможно описать одним ДУ. Например, если материальная точка, массой m, движется под действием переменной силы F(t,r,r`) по закону r = r(t), то векторная функция r (t) = (x(t), y(t), z(t)) удовлетворяет уравнению:
m
=
F
(t,r,
)
– векторное уравнение эквивалентно
системе скалярной функции
m
= F1
( t,x,y,z,x`,y`,z`);
m
=
F2
(t,x,y,z,x`,y`,z`);
m
= F3
(t,x,y,z,x`,y`,z`)
где F1, F2, F3 – проекции вектора F на оси координат.
Система n ДУ 1-го порядка
f1(x1,y1,y2…..,yn);
f2(x1,y1,y2…..,yn);……………;
fn(x1,y1,y2…..,yn)
называется нормальная система.
Решением нормальной системы n ДУ на интервале (a;b) называется совокупность функций: y 1 = y 1 (x); y 2 = y 2(x);…………..;y n = y n (x) непрерыв. диф на (а,b), кот при подстановке в уравнения системы обращают их в тождества.
Теорема(о существовании и единственности решения норм системы)
Пусть функции
fi(x,y,y2….yn)
определены
в (n+1)-
мерной области Д измен. переменные x,y…y
n.
Если они
непрерывны в некоторой окрестности , в
некоторой точке М0(x0,y1
,y2
…y
n
)
и имеет в этой окрестности непрерывные
частные производные ,то найденный
интервал (x0
-
,
x0
+
)
в котором существует единственное
решение нормальной системы, удовлетворяющее
условиям:
y1 (x0) = y1 ; y2 (x0)= y2 ;…………..;yn(x0)= yn , где y1 , y2 …- заданные числа.
Задача нахождения решений системы ДУ , удовлетворяющих эти условия называют задачей Коши.