13.Линейные однородные ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

;

Определение. Система функций где i=1,n наз-ся линейно зависимой на интервале (a,b) если сущ-ют также n чисел , ,…, среди которых есть отличные от 0, то для любых x принадлежащих (a,b) вып-ся рав-во: (47)

Если же рав-во (47) вып-ся для любого x принадлеж-го (a,b) только при , i=1,n то сис-ма ф-ий наз-ся линейно независимой.

Если ф-ия линейно зависимая на интервале (a,b), то хотя бы одна из них линейно выражается через остальные.

тогда из рав-ва (47) получаем:

,

, i=2,n

Если ф-я линейно независимая на ин-ле (a,b), то одну из них нельзя записать в виде линейной комбинации остальных ф-ий.

Вопрос о линейной независимости частных решений линейного, однородного Д.У. n-ого порядка реш-ся с пом-ю определителя бронского этих ф-ий.

Теорема. Если линейно независимые част. решения лин-ого однородного ур-ия n-ого порядка, то ф-ия (48) где С1,C2,…,Cn – const произвольные, яв-ся общим реш-ем этого ур-ия.

Для лин-ого однород-го Д.У. n-ого порядка с пост-ыми коэф-ами общее реш0ия нах-ся так-же как и для ур-ия 2-ого пор-ка. После подстановки ф-ии и ее производных получили след. характеристическое ур-ие: , – корни. Тогда:

1) Каждому дейст-му однократному корню λ соотв-ет част. реш-ие

2) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней

соот-ет мн-во независимых част. реш-ия и

3) Каждому дейст-ому корню λ кратности m соот-ет m лин-но независимых част. реш-ий:

4) Каждой паре комплексно сопряж-ых корней λ=α+iβ и кратности m соотв-ет 2m линейно независимых част. реш-ий.

14.Линейные неоднородные ду 2-ого порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного ду.

Линейное неод-ое Д.У. 2-го пор-ка имеет вид:

– заданные ф-ии.

Теорема. Общее реш-ие лин-ого неоднород-го Д.У. есть сумма его частного реш-ия и общего реш-ия соот-его однород-го ур-ия. Из теоремы следует что отыскание общего реш-ия неод-ого ур-ия нужно найти общ. реш-ие соотв-его однород. ур-ия и какое-либо част-ое реш-ие.

Ф-ию можно определить методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Пусть и – фундаментальная сис-ма реш-ий однород-го ур-ия.

А общее реш-ие это ур-ие - общее реш-ие однород. Д.У.

Част. реш-ие неод-го Д.У. (49) будем искать в виде (51), считая пр этом и не постоянными, а независимыми ф-иями переменной x.

Т.к. надо определить 2 ф-ии и , то одно соотношение между ними можно выбрать произвольно. Пусть и такие, что справедливо рав-во:

;

Подставляя выр-ие в ур-ие (49):

Т.к. и – реш-ия однород-го ур-ия, то выр-ия в кв. скобках равны 0. И следовательно:

Объеденив последние рав-ва с рв-вом (53) получим:

В этой сис-ме неизвестным яв-ся: линейно незав-ых фун-ий следовательно W(x)≠0

Решив сис-му (56) получим:

Проинтегрировав рав-во найдем :

Подставив их в выр-ие (52), получим частное реш-ие неоднородного ур-ия (49).