6. Однородные ду 1-ого порядка
Функция f(x,y)
называется однородной функцией n–го
измерения, если при любом t
выполняется условие:
.
Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.
P(x,y)dx=-Q(x,y)dy;
.
Однородное уравнение всегда можно
привести к виду
и с помощью замены y/x=t
однородное уравнение всегда приводится
к уравнению с разделяющимися переменными
(y/x=t;
y=xt; y’=t+xt’).
Такие уравнения с помощью подстановки y = ux и y' = u'x + u, dy=udx+xdy , где u – новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х.
Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения y`=2xy/(x2-y2). Проверим, является ли данное уравнение однородным:
т.е.
является. Введем замену:
.
Подставим в исходное уравнение:
Разделим
переменные и проинтегрируем полученное
уравнение:
.
Найдем интеграл левой части уравнения:
.
Найдем интеграл правой части уравнения:
.
Приравняем найденные результаты:
.
Используем свойства логарифмов и
потенцируем равенство:
,
.
Подставим вместо
получим
.Общее
решение данного дифференциального
уравнения имеет вид:
,
где С – произвольная постоянная.
7.Линейные ду 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).
ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=f(x) (21)– первого порядка относительно у и у’. Где P(x) и f(x) заданные ф-ции, линейн относ неизв ф-ции и ее произв-й. Если f(x)=0 , то ур-ние линейн однородн.
Для решения ЛДУ применяем замену(подстановка Бернулли): y=UV, тогда y’=U’V+UV’
U’V+UV’+P(x)UV=f(x)
V(U’+P(x)U)+UV’=f(x) (23)
Далее приравняем U’+P(x)U=0 – ур с раздел. переменными, его общ решен:
, подстав U(x)
в 23:
;(поделим
обе части на U(x)
и проинтегрир):
;
;подставл
найден знач v(x)
и u(x)
в выр
y(x)=U(x)V(x):
y(x)= U(x)(
);
По методу
вариац произв
постоян неодн ду
(21) ищется в виде:
--реш.
неоднор лду в котор C=C(x)-диференц
ф-ция. подставив в 21 получим:
+p(x)
=f(x)
=>
;
ф-ция с(х)
найдена подст в ф-лу 25 оконч получ общ
реш ду 21:
y=
8.Уравнение Бернулли
урав вида
y’+P(x)y=Q(x)
yn,n
(26)
при n=0, оно превр в линейн ду, при n=1 в ур с раздел перемен.
y’+
y=0
–ур с разд перем
рассм случ когда
ур Берн сведется к лин диф ур, для этого
обе части
рав-ва 26 раздел все эл-ты на yn
; y
0;
y=0
– явл решен ур Берн при n=0;
yn
y’+P(x)
y1-n=f(x)
(27). Введем замену перемен: y1-n=z,
z=z(x),
z’=(1-n)y;
y-n
y’=
;
Ур 27 примет вид:
;
28 явл лин ду относ задан ф-ции z(x)
его реш мож быть получ метод подстан
Берн или вариац произв постоян.