3.Геометрическая интерпретация ду 1-ого порядка. Метод изоклин.
Из ур-ния y`=f(x,y) следует что угловой коэффициент y` касательной к интегральной кривой в каждой точке (x,y)€D равен значению ф-ии f(x,y) в этой точке.
Таким образом, в каждой точке (x,y)€D можно указать направление касательной к интегральной кривой проходящей через точку (x,y) .
Если через каждую точку кривой провести отрезок с коэфф. k=f(x,y) получится поле направлений области D.
Вывод. С геометрической точки зрения ДУ y`=f(x,y) опред. в обл. D плоскости XY поле направлений а решению этого ур-ния соотв. Кривая направлений к косательной к которой в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Эта задача решается графически и приближенно методом изоклин.
Изоклиной ДУ y`=f(x,y) называется кривая в каждой точке которой поле направлений имеет один и тот же наклон, т.е. семейство изоклин ДУ y`=f(x,y) определяется равенством: f(x,y) = k =tgα , где k-параметр, α-угол наклона поля направлений оси X.
Придавая параметру k близкое численное значение можно получить сеть изоклин с помощью которых приближенно строятся интегральные кривые ДУ y`=f(x,y).
4.Задача Коши для ду n-ого порядка. Общее решение, частное решение, особое решение ду n-ого порядка.
График решения ДУ n-ого порядка наз. Интегральной линией или инт. кривой.
Задача Коши для ДУ n-ого порядка сост. в след.: найти решение y=y(x) ур-ния (1) удовлетв. условиям: y=y0,y`= y`0…,yn-1 =y0n-1 , при x=x0, (3) где x0, y0 , y`0,… y0n-1 -заданные числа. –это начальные данные решения. Начальное условие (3) можно записать: y(x0)=y0 , y`(x0)=y`0 , y``(x0)=y``0 ,… yn-1(x0)=y0n-1.
Общим решением ДУ n-ого порядка(1) называется ф-ия y= φ(x,c1, c2, c3…, cn) (4) обладающая следующими св-вами: 1, при любых значениях произв. постоянной она обращает ур-ние (1) в тождество; 2,значения c1, c2, c3…, cn можно подобрать так, чтобы она удовлетворяла нач. условиям (3).
Частным решением ДУ n-ого порядка называется решение полученное из общего решения (4) при фиксированных значениях произвольных постоянных y= φ(x,c10, c20, c30…, cn0) , c10, c20, c30…, cn0 –фиксированные значения (некоторые числа).
Решение ДУ n-ого порядка в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши называется особым.
Общим интегралом ДУ n-ого порядка нвзывается соотношение вида: Ф(x,y, c1, c2, c3…, cn)=0 (5) неявно определяющее общее решение: y= φ(x,c1, c2, c3…, cn) этого ур-ния.
Частным интегралом ДУ n-ого порядка называется соотношение: Ф(x,y,c10, c20, c30…, cn0)=0, полученное из общего интеграла путем фиксирования значений произвольных постоянных c10, c20, c30…, cn0.
5. Уравн. С разделяющимися переменными
Ду 1-го порядка назыв уравн с раздел перемен,если его можно привести к виду:
- Диф. ур с раздел
переменными.
Где f1
(х) и
f2
(х) зависят
только от х, и 1
(у) и
2
(у) от
y,
разделим
обе части уравнения (1) на 1
(у) и
f2
(х) в
предположении что f2
(х)
1
(у)
получим
- ур с разд перемен,
т.к. при dx
нах-ся ф-ция зависящ тока от x,
при dy
от y
взяв неопр интегр
получ:
- общими интегралами исходного диф.
уравнения.