51.Проверка статистических гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.

Статистическая гипотеза-утверждение относительно распределения с.в. ген. совокупности. Гипотеза, подверг. Проверке, называется нулевой. (Н₀). Если Н₀ отвергается, то принимается альтернативная гипотеза Н₁.Правило, согласно которому проверяется Н₀, называется статистической проверкой гипотезы Н_0. Правило, по кот. принимается решение о принятии или отклонении гипотезы, называется критерием (К).

Т.к.решение принимается на основе выборки наблюдений с.в. Х, то необходимо выбрать подх. статистику (оценку), наз-ую статистикой z критерия К.

Критерий, основанный на исп-ии заранее заданного ур-ня значимости, наз-ся критерием значимости. Множество всех значений z стат., при кот. принимаются решения, отклон. гипотезу Н₀, наз-ся критической областью. Совокупность значений статистики z, при кот. Н₀ принимают, наз-ют областью принятия гипотезы. Точки, отд.критическую область от области принятия решений, называют критическими.

Схема статистической проверки гипотезы:1) формулировка Н₀ и Н₁ гипотез;2) выбор соответствующего уровня значимости;3) определение объёма выборки;4)выбор статистики z критерия для проверки гипотезы Н_0;5)определение критической области и области принятия гипотезы;6)формулировка правила проверки гипотезы;7) применение статистического решения

Критерий согласия Пирсона.

w_i – относительные частоты, заданные статистической таблицей; p_i – вероятности, получ. По некоторому теорет. З-ну распределения

Далее рассматривается разность. r=l-t, l-число разрядов стат. Таблицы;t-число условий, налагаемых на частоты;r-число степеней свободы

Например для норм. З-на распред., t=3. 1)w_i=1;2) - в теорет. З-не распред.;3)

Используя табл.приложений по значениям и r определяют вероятность р, кот.хар-ет вероятность согласованности теории и статистических распределений. Если р<0,1, то делают вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент. Если р>0,1, то гипотеза о принятии теор.распределения не противоречит опытным данным.

Критерий согласия Колмогорова.

Пусть дано статистическое распределение х₁, х₂, …, х_l, где х_l-ср.значение соотв.интервалов с.в.

х	Х1	Х2	…	хl
w	W1	W2	…	wl

В кач-вем меры расхождения между теор. и статист. распределением, в критерии Колмогорова рассм-ся макс.значения модуля разности между статистической ф-ии распред.(F^*(x)) и теор. (F(x)).

P_j=h*f(x_j) , j=1,…l

f(x)- плотность распределения с.в. Х

Сначала находим величину Х=D

D=max|F^*(x)-F(x)|

n-объём выборки

Эта формула определяет вероятность того, что за счёт сл.прич., макс.расхождение между F^*(x) и F(x) окажется не меньше, чем фактически наблюдаемая. Если вероятность Р(λ) мала (Р^*<0,05), то гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную, а при сравнительно больших значениях Р(λ) гипотезу можно считать совместимой с опытными данными.

Р(λ) находят из таблиц.

52.Понятие о двумерных выборках и выборочных оценках двумерных св.

Составляющие двумерного вектора – случайные величины и – могут быть как зависимыми, так и независимыми. Значения двумерной случайной величины представляют собой упорядоченные пары чисел . Выборка объема из двумерной генеральной совокупности – набор упорядоченных пар . Такие выборки называются двумерными.

Если СВ образующие систему зависимы, то для нахождения закона распределения системы не достаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему, требуется знать так называемый условный закон распределения одной из них.

Условным законом распределения одной из величин системы (X, Y) называется ее закон распределения вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Начнем с наиболее простого случая, а именно со случая, когда СВ Y является дискретной.

Условной функцией распределения называется условная вероятность события

Замечание 1. Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (т.е. безусловной) функции распределения.

Замечание 2 Если СВ X также дискретная, причем , то удобно рассматривать условную вероятность , СВ X принять значения при условии, что ,

В общем случае условную функцию распределения , однако, это не всегда возможно. Потому, что для непрерывного типа P{Y=y}=0. Чтобы отстроиться от этих неприятностей, попытаемся воспользоваться предельным переходом, заменяя событие {Y=y}, событием {y≤Y<y+Δ} и устремив Δ → 0.

Получим.

Назовем условной функцией распределения

Оказывается такой предел всегда существует. Если СВ Y - непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением

В наиболее важных для приложений случаях вектор (X, Y) представляет собой двумерную непрерывную СВ с совместной плотностью .

Так как функция имеет производную по x, то мы получаем окончательное выражение для условной плотности.

53.Выборочное уравнение регрессии и его построение методом наименьших квадратов.Для определения значений теоретических коэффициентов, входящих в уравнения регрессии, необходимо знать и использовать все значения переменных генеральной совокупности, что практически невозможно. В связи с этим по выборке ограниченного объема строится так называемое выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии. В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки коэффициентов, входящих в уравнение регрессии, практически всегда отличаются от истинных (теоретических) значений, что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к отличающимся друг от друга оценкам. Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке найти оценки неизвестных параметров так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей, среди всех других линий.Линейная регрессия.Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Для этого простейшего случая имеем: или Последнее соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью; коэффициенты – теоретическими параметрами регрессии; – случайным отклонением.По выборке ограниченного объема строится выборочное уравнение регрессии: , (1)где – оценки неизвестных параметров , называемые выборочными (эмпирическими) коэффициентами регрессии, – оценка условного математического ожидания . Для величин справедлива формула: , (2)где отклонение – оценка теоретического отклонения .Построенная прямая выборочной регрессии должна наилучшим образом описывать эмпирические данные, т.е. коэффициенты должны быть такими, чтобы случайные отклонения были минимальны. Наиболее распространенным методом нахождения коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов (МНК).Если по выборке требуется определить оценки выборочного уравнения регрессии (2), то вводится в рассмотрение и минимизируется функция: .Необходимым условием существования минимума данной функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам : .Отсюда: ,выразив из последних соотношений коэффициенты, получим окончательно: , (3)где введены обозначения: