48.Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Эмпирическая функция распределения

Это функция распределения F^* (x) определяет для каждого значения х частоту события

х <x_i F^* (x) = Nx-число <x_{i .} n- объём выбора F^* (x)-статистическая функция распределения Свойства F^* (x): 1) значение имперической функции принадлежит 2) F^* (x) не убывающая 3)F^* (x)=0, при х≤х_1. F^* (x)=1, при х≥х_к

1,Дискретное распределение признака Х. Полигон частот называется ломанная отрезки которой соединены точками (x1,n1), (x2,n2)…(x_k,n_k), где x_i-варианты выборки, n_i- соотв им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломанную отрезки которой соеденины точками (x1,w1),…..(x_x,w_x), где x_i –варианты выборки, w_i – соотв им относительные частоты.

Гистограмма используется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признаков и состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников, Основание каждого прямоугольника равно ширине интервала группировки, а высота его такова, что площадь прямоугольника пропорциональна частоте (или частости) попадания в данный интервал. Если ряд безинтервальный, то ширина всех столбцов выбирается произвольной, но одинаковые. Таким образом, высоты прямоугольников должны быть пропорциональны величинам

                                                                     ,                                                                   

где n_i — частота i-го интервала группировки; h_i — ширина i-го интервала группировки.

На графике гистограммы основание прямоугольников откладывается по оси абсцисс (x), а высота — по оси ординат (у) прямоугольной системы координат.

      Однако в тех случаях, когда ширина всех интервалов группировки одинакова, вид гистограммы не изменится, если по оси ординат откладывать не величины р_i, а частоты интервалов n_i.

49.Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Методы моментов и максимального правдоподобия.Статистической оценкой θ * неизвестного параметра θ теоретического распределения называют функциюf(X1,X2,…,Xn)от наблюдаемых СВ.Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом θ *=f(x1,x2,…,xn), где х1,х2,…,xn–результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).Несмещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, мат. ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (мат. ожид) служит выборочная средняя: ,где –объем выборки.xi –варианта выборки, ni –частота варианты xi,Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия Эта оценка является смещенной, так как ,где D_Г – генеральная дисперсия.Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия: .Более удобна: .Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. v1=M1. v1=M(X) и М=Хв, получим М(Х)= в. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Учитывая, что v1=M(X),M1= в. µ=D(X),m=Dв, имеем систему: М(Х)= в., D(X)=Dв. Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу: Pn (k)=лямда*k e*-лямда/k!, где к – число появлений события в n независимых испытаниях, лямда=np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что С.В. распределена по закону Пуассона.М(Х)=лямбда. Лямбда= в.Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Д.С.В. Пусть Х – Д.С.В., которая в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид закона распределения величины Х задан, но неизвестен параметр θ , которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку θ *=θ (x1,x2,…,xn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение xi через р(xi;θ ). Фун правдоподобия Д.С.В. Х называют функцию аргумента θ : L (x1,x2,…,xn;θ )=p(x1;θ)*p(x2;θ )…p(xn;θ ). Оценкой наиб правдоподоби параметра θ называют такое его значение θ*, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значенииθ, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, максимум функции lnL. Н.С.В. Пусть Х – Н.С.В., которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2,…,xn. Допустим, что вид плотности распределения – функции f(x) – задан, но неизвестен параметр θ , которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия Н.С.В. Х называют функцию аргумента θ : L(x1,x2,…,xn;θ )=f(x1;θ )*f(x2;θ )…f(xn;θ ).

50.Интервальные оценки неизвестных параметров распределения. Доверительные интервалы и вероятности.Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, направляющего оцениваемый параметр.Доверительным называется интервал, который заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.1)Интервальной оценкой (с надежностьюγ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака. X по выборочнойсредней ¯x при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал Где точность оценки, n-объем выборки, t-значение аргумента ф-ции Лапласа

Ф(t),при котором Ф(t)=γ/2; при неизвестном σ (и объеме выборки n<30).

где s-«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t_γ находят по таблице по заданным n и γ.2)Для оценки среднегоквадратического отклонения σ нормально распределенного Количественного признака X с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы: где σ находятпотаблицепо заданным п и γ.

3)Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биноминального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал (с приближенными концами p₁ и p₂) ,

где , .где n – общее число испытаний,m – число появлений события.W – относительная частота, равная отношению m/n;t – значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(t)=γ/2 (γ – заданная надежность).

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала под значения

,

Интервал (θ_1,θ₂) в котором оцениваемый параметр θпопадает в ходни вероятностью

Γназываеться доверительным.

Γ-доверительная вероятность, надежнсть оцениваемого параметра θ

Число α= 1 –γ - уровень значимости .α обычно 0,1;0,05;0,001;

Если α=0,05,то (1-0,05)*100=95,т.е. 95 из 100 значений оцен параметра бцдут начинаться внутри интервала