
- •1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ду). Основные сведения о ду (обыкновенные ду, оду n-ого порядка, решение ду на интервале).
- •2.Задача Коши для ду 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ду 1-ого порядка.
- •3.Геометрическая интерпретация ду 1-ого порядка. Метод изоклин.
- •4.Задача Коши для ду n-ого порядка. Общее решение, частное решение, особое решение ду n-ого порядка.
- •5. Уравн. С разделяющимися переменными
- •6. Однородные ду 1-ого порядка
- •7.Линейные ду 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).
- •8.Уравнение Бернулли
- •9. Уравнение в полных дифференциалах.
- •10.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Приемы понижения порядка (на примерах ду 2-ого порядка).
- •13.Линейные однородные ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •14.Линейные неоднородные ду 2-ого порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного ду.
- •15.Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) для отыскания частного решения линейного неоднородного ду 2-ого порядка.
- •16. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •17. Системы ду. Нормальные системы. Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы ду. Задача Коши для системы ду.
- •19.Системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы ду.
- •20. Решение системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.
- •21. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •22. Вероятность события. Классическое, статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •23. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.
- •24. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •25. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •26. Повторение испытаний. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.
- •27. Распределение Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •28. Интегральная предельна теорема Муавра-Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства.
- •Дискретные случайные величины. Построение функции распределения.
- •Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности случайной величины, ее свойства.
- •Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства.
- •33.Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства.
- •34.Числовые характеристики случайных величин. Мода, медиана, начальные и центральные моменты, асимметрия, эксцесс случайных величин.
- •35.Равномерный закон распределения случайных величин.
- •36.Биномиальный закон распределения случайных величин.
- •40.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •46.Линии регрессии. Корреляция.
- •47.Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных. Выборка и ее характеристики. Частота и относительная частота.
- •48.Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •51.Проверка статистических гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •52.Понятие о двумерных выборках и выборочных оценках двумерных св.
- •55. Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляционная функция. Авторегрессионная модель.
46.Линии регрессии. Корреляция.
Линии регрессии . Дана система случайных величин х и у .Пусть в результате испытаний получим :
(Х1, У1)…..( Хn,Yn)
среди них могут быть совпадающие.
Требуется Вычислить коэффициент
случайных величин.Приняв во внимание
закон больших чисел , при А значений
совпадающих величин =>M(x)
= x = (
)
/ n; M(y)
= y =
)
/ n
δx2
= (
)
/ n-x-2 δy2
= (
)
/ n-y-2
Cxy
= (
)
/ nx*y
=>Коэффициент корреляции rxy=
;| rxy
| *
≥3
Если связь между х и у установлена
,то линейное приближение
Yxот
х , задаётся формулой :Yx–y
= rxy*
(x-x) илиyx=
ax +
b
То линейное приближение
xyот
у : xy
–x = rxy*
(y-y) или
xy
=cx+
d
Прямая Yx–y
= rxy*
(x-x) илиyx=
ax + b
получается в результате решения задачи
о минимизации суммы квадратов отношений
по вертикали при решении задачи о
минимизации суммы квадратов отношений
по горизонтали
Этапы построения
линий регрессии :
(х и у) вычислить среднее значение х,у,δx,δy,Cxy,rxy
Х и у в | rxy | * ≥3
Составьте уравнение Yx–y = rxy* (x-x) илиyx= ax + b и xy –x = rxy* (y-y) или xy =cx+ d и изобразите графически
Корреляционный момент Сxy=µxy= M(x-M(x))*(Y-M(y))
Для дискретных случайных величин : Сху=
(x-mx
)(y-my)
*pmm
Для непрерывных случайных величин :
Сху=
(x –mx)(y-my)*
(x,y)dxdy
Корреляционный момент так же можно посчитать : Сху=M(х,у)-M (x) * M(y)
M(x,y)= = Xn *Ym*Pnm –Дискретный M(x,y)= х*у* (x,y)dxdy –Непрерывный
Определение случайной величины х и у называют незавершённым, если вероятности
Одной из них принять значение лежащее
в одном промежутке не зависит от
того,какое значение приняла другая
величина M(x,y)=M(x)*M(y)
Cxy=0
Для
характеристики связи между х и у вводится
понятие –коэффициент корреляции
rxy=
; Корреляция-безразмерная величина
rxy
≤ 1; Если случайная величина
независима, то и коэффициент =0; Если
случайная величина х и у связаны точкой
линейной зависимостью ,то , коэффициент
корреляции
rxy=
=
Корреляция
служит для оценки тесноты линейной
связью х и у
Чем ближе абсолютная
величина r к единице, тем
связь сильнее
Чем ближе абсолютная
величина r к нулю, тем
связь слабее
Коррелированные –это
случайные величины х и у ,если их Cxy
≠0
Не
коррелированные –это 2 случайные
величины, если их Cxy=0
47.Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных. Выборка и ее характеристики. Частота и относительная частота.
Выборка и ее характеристики.Мат статистика рассм приближенные методы нахождения законов и числовых характеристик случ вел по результату эксперимента или наблюдений.
Совокупность всех возможных однородных значений исследуемых случ вел называется генеральной совокупностью, может состоять из конечный или бесконечных элементов, которые называются элементы генеральной совокупности.
Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.
Объемом совокупности – называется число объектов этой совокупности.
Выборка объема n – есть набор n независимых одинаково распределенных случ вел
Задача мат статистики состоит в исследовании свойств выборки и обобщить на всю генеральную совокупность, полученный вывод называется статистическим.
Частота и относительная частота.Пусть имеется выборка объема n. Результаты эксперимента дискретной случ вел сводятся в таблицу в первой строке записывается №эксперимента во второй соотв наблюдается Ϟi (кси) , кот назыв вариантой СВ
i |
1 |
2 |
3 |
….. |
n |
Ϟi |
Ϟ1 |
Ϟ2 |
Ϟ3 |
……. |
Ϟn |
Ϟ1…. Ϟn – значения СВ X в 1-n испытаниях.
Среди значений могут быть одинаковые. Объединив равные значения СВ получим таблицу:
X |
x1 |
x2 |
x3 |
…….. |
xl |
ni |
n1 |
n2 |
n3 |
…. |
nl |
Где ni – число появления хi , i=1….l
Величины n1, n2, …nl – частоты значений x1……. xl
Сумма частот всех значений СВ = объему выборки
n
Относительная частота это отношение частоты ni и n
Для случ вел Х сумма относительных частот =1