40.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Закон больших чисел.Под законом больших чисел понимают общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при определенных общих условиях к результату почти независящему от случая. Этот принцип выражается рядом теорем, которые основываются на неравенстве Чебышева. Неравенство Чебышева.Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше любого положительного *E* и ровна или больше разности 1-D(x)/E²

P(Ix-M(x)I<E)=> 1-D(x)/E²

Теорема Чебышева.Случайные величины принимаютзначения, зависящие от многих причин, учесть которые не представляется возможности. Поведение суммы достаточно большого числа случ. величин при некоторых условиях утрачивают случ. характер и становятся законом. Если случ. величины x_1,x₂,…x_nнезависимы имеет математ. ожидание и дисперсии ,каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого положительного числа Е выполняется неравенство: P(│1∕n∑X_k - 1∕n∑M(X_k)│<E│)≥1-C∕n*E² ,при к= от 1 до n

Введем понятие сходимости по вероятности. Случ.величиныx₁....x_n сходятся по вероятности к случайной величине Х,если для любого числаЕ выполняются:

LimP(│x_n-x│<E)=1

^n->∞

Следствие 1:если Случ.величиныx₁....x_n удовлетворяют условиям теоремы Чебышева, то: LimP(│1∕n∑X_k - 1∕n∑M(X_k)│<E)=1

^n->∞

т.е. среднее арифметическоезначение случ. величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат.ожиданий. Теорема Чебышева верна для дискретных и непрерывных случ. величин. Следствие2:среднее арефмитическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание. М(х_к)=а,к от 1 до n сходятся по вероятности по мат.ожиданию к а , если Е-любое положит.число. LimP(│1∕n∑X_k - а│<E)=1

^n->∞

Теорема Бернулли.Если m-число появлений события а в n-независимых испытанияхи p-вероятность появления события а в каждых испытаниях, то при достаточно больших n близка вероятность того,что модуль отклонения относит.величин меньше любого Е,но>0

LimP(│m∕n-p│<E)=1

41. Понятие о центральной предельной теореме.Теорема Ляпунова.Локальная теорема Лапласа.Интегральная теорема Лапласа. Многие задачи теории вероятности связаны с изучением суммы независимых величин,которые при определенных условиях имеют распределение близкое к нормальному.

Теорема Ляпунова.Если х₁…х_n независимые случ величины имеющие одно и тоже распределение с математическим ожиданием а и дисперсией δ²=D(х)то при неограниченном возрастании n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при nнеогранич.возрастающ. Локальная теорема Лапласа.если вероятность появления события а в каждом из nнезависимых испытаний ровна одной и той же р(0<p<1),то Р_к,nтого,что во всех этих испытаниях событие а появится к разприближенно выражается формулой: Р_к,n= ^-(k-np)2/^2npq

Р_к,n= *φ(x) x =

φ(x)= * ^-x2/² Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность события а в каждом изn-независимых испытании ровна р,0<p<1 то Р_к,n(к_1,к₂) того что в этих испытаниях событие а появится не менее к₁ раз и не более к₂ раз.Приближенно определяется формулой Р_к,n(к_1,к₂)= ^-х2/2dx x₁=^-(k₁-np)/ npq

x₂=(k₂-np)/ npq

В этом соотношении Р_n(к_1,к₂)= ф(х₂)-ф(х₁) ф(х)-функция Лапласа из таблиц.

42.Векторные случайные величины.Закон распределения двумерной случ.величины.Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины. Векторные случайные величины.На ряду с одномерными рассматриваются еще и многомерные случвеличины.Это векторы ,координаты которых явл однородными случвеличинами.Это векторные величины. х =(х₁(ω), х₂(ω)… х_n(ω)) вектор х(ω) геометрически интерпретируется как случайная точка в пространстве R_nкоторая зависит от элементарного события.Закон распределения двумерной случ.величины.Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

Y	Х
	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому

р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j. Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайной величины:

Y	X
	-2	3	6
-0,8	0,1	0,3	0,1
-0,5	0,15	0,25	0,1

Найти законы распределения составляющих.

Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распре-деления для Х:

Х	-2	3	6
р	0,25	0,55	0,2

Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:

Y	-0,8	-0,5
p	0,5	0,5

Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины. Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ). Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения.

1)      0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).

2)      F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:

F(x₂, y) ≥ F(x₁, y), если x₂>x₁;

F(x, y₂) ≥ F(x, y₁), если y₂>y₁.

Доказательство. F(x₂, y) = p(X < x₂, Y < y) = p(X < x₁, Y < y) + p(x₁ ≤ X < x₂, Y < y) ≥

≥ p(X < x₁, Y < y) = F(x₁, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.

3)      Имеют место предельные соотношения:

а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1.

Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.

4)      Приу = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:

F(x,  ∞) = F₁(x).

При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y :

F( ∞, y) = F₂(y).

Доказательство. Так как событие Y <∞ достоверно, то F(x,  ∞) = р(Х < x) = F₁(x). Аналогично доказывается второе утверждение.