35.Равномерный закон распределения случайных величин.

Плотность вероятности равномерного распределения сохраняет на интервале (a, b) постоянное значение, вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Исходя из основного свойства плотности вероятности,

f(x) = 1/(b-a) на интервале (a;b).

Интегральную функцию распределения (вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, чем x) находим как интеграл от -∞ до x от плотности вероятности: F(x) = (x-a)/(b-a)

Графики плотности вероятности и функции равномерного распределения:

Математическое ожидание равномерного распределения: M(X) = (a + b)/2

Дисперсия равномерного распределения: D(X) = (b - a)2/12

Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения: σ(X) = (b - a)/(2√3)

36.Биномиальный закон распределения случайных величин.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности pi вычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np,

дисперсия D(X) = npq,

мода np-q ≤ Mo ≤ np+p,

коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq,

коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq

В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npq

В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ=np.

Пример 3.1

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.

Решение

Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли.

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1

Математическое ожидание:

М(Х) = Σ хipi = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216 = 1,8

Или: М (Х) = np = 3 · 0,6 = 1,8

Дисперсия: D(X) = Σ х2ipi – (М(Х))2 = 02 · 0,064 + 12 · 0,288 + 22 · 0,432 + 32 · 0,216 – 1,82 = 0,72

Или: D (X) = npq = 3 · 0,6 · 0,4 = 0,72

Среднее квадратическое отклонение:

σ(Х) = √D(X) ≈ 0,85

Коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq = (0,4 - 0,6)/√3·0,6·0,4 ≈ -0,2357,

Коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq = (1 - 6·0,6·0,4)/(3·0,6·0,4) ≈ -0,61111