- •1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ду). Основные сведения о ду (обыкновенные ду, оду n-ого порядка, решение ду на интервале).
- •2.Задача Коши для ду 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ду 1-ого порядка.
- •3.Геометрическая интерпретация ду 1-ого порядка. Метод изоклин.
- •4.Задача Коши для ду n-ого порядка. Общее решение, частное решение, особое решение ду n-ого порядка.
- •5. Уравн. С разделяющимися переменными
- •6. Однородные ду 1-ого порядка
- •7.Линейные ду 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).
- •8.Уравнение Бернулли
- •9. Уравнение в полных дифференциалах.
- •10.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Приемы понижения порядка (на примерах ду 2-ого порядка).
- •13.Линейные однородные ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ду n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •14.Линейные неоднородные ду 2-ого порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного ду.
- •15.Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) для отыскания частного решения линейного неоднородного ду 2-ого порядка.
- •16. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •17. Системы ду. Нормальные системы. Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы ду. Задача Коши для системы ду.
- •19.Системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы ду.
- •20. Решение системы линейных однородных ду с постоянными коэффициентами. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.
- •21. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •22. Вероятность события. Классическое, статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •23. Теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.
- •24. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •25. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •26. Повторение испытаний. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.
- •27. Распределение Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •28. Интегральная предельна теорема Муавра-Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства.
- •Дискретные случайные величины. Построение функции распределения.
- •Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности случайной величины, ее свойства.
- •Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства.
- •33.Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства.
- •34.Числовые характеристики случайных величин. Мода, медиана, начальные и центральные моменты, асимметрия, эксцесс случайных величин.
- •35.Равномерный закон распределения случайных величин.
- •36.Биномиальный закон распределения случайных величин.
- •40.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •46.Линии регрессии. Корреляция.
- •47.Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных. Выборка и ее характеристики. Частота и относительная частота.
- •48.Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •51.Проверка статистических гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •52.Понятие о двумерных выборках и выборочных оценках двумерных св.
- •55. Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляционная функция. Авторегрессионная модель.
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ду). Основные сведения о ду (обыкновенные ду, оду n-ого порядка, решение ду на интервале).
ДУ – ур-ния содержащие неизвестные функции или вектор функции под знаком производной или дифференциала.
dx/dt = -kx - уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x- кол-во неразложившегося вещ-ва в момент времени t, dx/dt – скорость распада,которая пропорциональна кол-ву распада.
m*(d2r/dt2) = F(t,r,dr/dt) - ур-ние движения точки, массы m под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки радиус вектора и ее скорости.
ð2u/ ðx2 + ð2u/ ðy2+ ð2u/ ðz2 = 4πρ(x,y,z) - ур-ние Пуассона, которому удовлетворяет потенциал и (x,y,z) электростатического поля, ρ-плотность зарядов.
ДУ – ур-ние относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком ДУ называется порядок старшей производной входящей в это уровнение.
ДУ называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной. (пример 1,2)Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называются ур-ниями с частными производными (пример 3).
Обыкновенные ДУ(ОДУ) n-ого порядка наз. ур-ния вида:F(x,y,y`,y``,…yn)=0, (1)
Где, x-независимая переменная, y=y(x) –зависимая от x-искомая ф-ия переменной x, y`,y``,…yn -производная, F( ) –заданная ф-ия своих аргументом,может не содержать несколько своих элементов,но должна зависить от yn.
Если ур-ние (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то можно представить: yn = f(x, y,y`,y``,…yn-1). (2)
Ф-ия y=φ(x) определенная и непрерывная дифференцируемая n раз на (a,b) назыв. Решением ур-ния (1) в этом интервале если она обращает указанное ур-ние в тождество: F(x, φ(x), φ`(x),… φn(x)) =0, для всех х принадлеж. интервалу (a,b).
2.Задача Коши для ду 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ду 1-ого порядка.
Ур-ния вида: y`=f(x,y) имеет бесконечное число решений. Из множества решений можно выделить одно частное решение с помощью задания начального условия Коши: y(x0)=y0 , (x0, y0)€D (*)
Задача отыскания частного решения ДУ y`=f(x,y)удовл. нач.усл.(*) назыв задачей Коши для этого ур-ния с геометрической точки зрения задача Коши для ДУ y`=f(x,y) означает следующее: требуется из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку M0(x0, y0) €D.
Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Дусть ф-ия f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D(df/dy), тогда найдется интервал (x0-δ, x0+δ) на котором существует единственное решение y= φ(x) ДУ y`=f(x,y) удовл. условиям y(x0)=y0 .
Если условия теоремы выполнены и имеются 2 решения: y= φ1(x) и y= φ2(x) ур-ния y`=f(x,y) такие, что φ1(x0)= φ2(x0), то существует такой интервал (x0-δ, x0+δ) в каждой точке которого φ1(x)= φ2(x).