6.Извлечение корня
Существует 
различных
значений корня
-й
степени из комплексного числа 
. Все
они даются формулой
Пример. Вычислить 
.
Решение.
Видим, что значения
совпадают
с выведенной выше формулой для 
. ♦
Пример. Вычислить 
.
Решение.
Значения корней получаются по формуле
Изобразим
корни на комплексной плоскости: видим,
что они располагаются на окружности с
центром в 
и
радиусом 
;
и делят эту окружность на 
дуг
одинаковой длины. Аналитика подтверждает
это: число 
может
быть получено домножением 
на
число 
,
что соответствует повороту вектора 
на
угол кратный 
.
Варианты использования комплексных чисел в экономике
Каждый учёный строил график изменения какого-либо показателя во времени так, как это сделано на рисунке 1.
По горизонтальной оси откладывается время, а по вертикальной – экономический показатель в разные моменты времени. Если представить себе, что рассматриваемая плоскость – комплексная, а экономический показатель можно рассматривать как мнимую часть комплексной временной экономической переменной:
Изменение модуля комплексной переменной и её полярного угла – совершенно новая, не изученная задача в экономике.
Но ещё больший интерес представляет изучение многообразных зависимостей пары результирующего комплексного временного экономического показателя от i влияющих на него комплексных временных экономических факторов:
Здесь впервые время выступает как результат сложных экономических процессов, а не как фактор экономического развития. Если указанная многофакторная модель является мультипликативной, то время становится нелинейной функцией от факторов производства! Самый простой случай, когда комплексный временной объём производства зависит от комплексной переменной ресурсов:
Вещественная часть этого равенства будет представлять собой нелинейную зависимость производственного времени от производственных ресурсов.
Другое интересное направление использования теории функции комплексного переменного в экономико-математическом моделировании представляется следующим образом. Например, основные фонды любого предприятия К складываются из двух составляющих – основные производственные фонды Кп и основные непроизводственные фонды Кн. Их можно складывать, получив величину основных производственных фондов:
К=Кп+Кн,
а можно, в целях исследования влияния каждого из видов основных фондов, например, на результаты производства, представить их как комплексную переменную:
ZК=Кп+iКн.
Точно также можно включить в экономико-математическую модель трудовые ресурсы, представив их как комплексную переменную, отнеся к вещественной части основной промышленный персонал, а к мнимой – вспомогательный промышленный персонал.
Экономико-математические модели, которые будут построены таким образом, окажутся и точнее тех моделей, которые используются сегодня, и способными описать более сложные экономические процессы.
Полярный угол комплексной переменной представляет собой арккотангенс отношения вещественной части комплексной переменной к его мнимой части. Это даёт основание для рассмотрения в экономике принципиально новых экономических показателей. Вот, например, показатель рентабельности по себестоимости:
.
Его можно рассмотреть как котангенс полярного угла следующего комплексного числа:
.
То есть, прибыль и затраты можно представить как действительную и мнимую части одного нового комплексного переменного.
Кстати, легко заметить, что сложение валовой прибыли Pr и издержек производства С даёт нам такой известный экономический показатель как валовый выпуск. А это значит, что и другие действия с данными переменными также могут быть интересными для исследования.
Агрегирование этих двух показателей в комплексное число даёт нам два новых экономических показателя, а именно: модуль комплексного числа r и его полярный угол φ. Исследование свойств этих показателей может дать нам дополнительную информацию об экономической результативности исследуемого процесса.
Приложение комплексных чисел в электротехнике
Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний в общетехнических и специальных дисциплинах, в частности электротехнике. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.
При расчетах цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами, поэтому студенты должны уметь выполнять следующие операции:
1) находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую;
3) производить сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел.
Помимо этого, очень важно научить строить кривую и вектор по уравнению синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.
В электротехнике тема «Переменный ток» занимает значительное место. Это объясняется тем, что большинство электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.
Уравнение
переменного напряжения имеет вид 
,
где u –
мгновенное значение напряжения; 
– максимальное
значение (амплитуда) напряжения; w –
угловая частота; t – время; 
– начальный
фазовый угол; 
–
электрический угол. Это
уравнение связывает две переменные
величины: напряжение u и
время t.
С течением времени напряжение изменяется
синусоидально.
Аналогичный
вид имеют уравнения и других синусоидально
изменяющихся величин: тока 
,
э.д.с. 
и
т.д.
При расчете цепей переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений указанного выше типа.
Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w. Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.
Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:
1. Переменная синусоидальная величина может быть однозначно представлена вектором. Длина вектора равна амплитуде; угол наклона равен начальному фазовому углу.
2. Сложение (и вычитание) синусоидальных величин можно заменить сложением (и вычитанием) векторов.
Кроме сложения и вычитания синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.
Комплексное
число может быть изображено на плоскости
вектором, длина которого равна модулю
комплексного числа, а угол наклона –
аргументу. В электротехнике в отличие
от математики мнимая единица обозначается
буквой j.
Если имеется комплексное число A=a+jb,то
его можно представить вектором, где 
–
модуль комплексного числа;
– аргумент
комплексного числа.
Комплексное
число имеет три формы: алгебраическую
– A=a+jb; тригонометрическую
–
;
показательную – 
.
Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число.
Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, топеременная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом.Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.
Напряжение
и ток. Имеется
уравнение 
.
В электротехнике за длину вектора
берется не максимальное, а действующее
значение. Оно обозначается большой
буквой U без
индекса и вычисляется путем деления
максимального
значения
на 
.
Синусоидальная
величина, выраженная комплексным числом,
называется комплексом и
обозначается прописной буквой с точкой
наверху 
.
Комплекс напряжения можно написать в
трех формах алгебраической – 
,
тригонометрической – 
и
показательной – 
.
Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.
Аналогично
для тока: 
, 
, 
, 
,
.
Пример. Дано:
ток в комплексной форме
Написать
уравнение тока.
Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:
, 
, 
,
.
Сопротивление
и проводимость. Имеется
цепь (рис. 1): r –
активное сопротивление (лампа
накаливания); 
–
индуктивное сопротивление (катушка); z –
общее сопротивление цепи, называемое
полным.
Рис.1 Рис.2
Сопротивления r,
, z образуют
прямоугольный треугольник
сопротивления
(рис. 2). Угол 
–
угол сдвига фаз. Сопротивления не
являются синусоидальными величинами,
однако отрезок z может
быть выражен комплексным числом, считая,
что отрезок rоткладывается
по оси вещественных чисел, а отрезок
–
по оси мнимых чисел.
Сопротивление
в комплексной форме обозначается
буквой Z.
Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления
записывается: 
–
алгебраическая форма; 
–
тригонометрическая форма; 
–
показательная форма.
Модуль 
;
аргумент 
.
Таким образом, в комплексе сопротивления
модуль равен полному сопротивлению, а
аргумент – сдвигу фаз.
Мощность. Комплекс
мощности получится, если комплекс
напряжения умножить на сопряженный
комплекс тока:
,
где 
–
комплекс мощности, 
–
сопряженный комплекс тока.
После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:
,
где P –
активная мощность, Q –
реактивная мощность.
Пример. 
,6; 
.
Определить активную P и
реактивную Qмощность.
Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:
, 
, 
,
, 
, 
.
Определим
сопряженный комплекс тока: 
,
Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.
Литература
Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.
А.П. Савин "Энциклопедический словарь юного математика"
М.Я. Выгодский "Справочник по элементарной математике"
arbuz.uz
Referat.ru
Students.ru
wikipedia.org
5ballov.ru