20. Группа симметрий фигуры.

---

симметрия относительно диагонали 2-4

- симметрия относительно диагонали 1-3

симметрия относительно горизонтальной линии

симметрия относительно вертикальной линии

Вращение по часовой На 90⁰

Вращение по часовой На 180⁰

Вращение по часовой На 270⁰

Тождественная

21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями: Кольцо. Виды колец. Тело. Поле.

Кольцо — алгебры вида А=<M,+ ,_* > для операций кот. вып. следующие аксиомы колец: для любых (a, b, c Î М):

1) аддитив. операция «+» ассоц. a + (b + c) = (a + b) + c

2) $ е для «+» аддитив. операции а + е = е + а = а

3) $ а^# для «+» аддитив. операции а + а^# = a^# + a = e

4) Аддитив. операция «+» коммут. a + b = b + a.

5) Мультиплик. операция ⊗ дистр. относительно «+» аддитив. справа и слева.

a (b + c) = (ab)  + (a c)

(b + c)  a = (b a)   +  (c a )

Виды колец:

Если a (b c) = (a b) с, то кольцо ассоциативно

Eсли (aa)b = a(ab), (ab) b = a (b b) — альтернативно;

Если a b =   bа, то кольцо коммутативно;

Если ab = bа и (ab)(aa) = ((aa) b) a, то кольцо йордановое

Eсли a² = a, a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0, то это кольцо Ли;

Поле — (кольцо) алгебры вида А=<M,+ ,_* > для операций которой выполняются следующие аксиомы: для любых (a, b, c Î М):

1) аддитив. и мультиплик. операции ассоц. a + (b + c) = (a + b) + c, (ab) c = a (bc)

2) $ е для аддитив. и мультиплик. операций

а + е = е + а = а, а е = е а = а

3) $ а^# для аддитив. и мультиплик. операции

а + а^# = a^# + a = e, а а^# = a^# a = e

4) Аддитив. и мультиплик. операции коммут.

a+b = b+a, ab=ba

5) Мультиплик. операция дистр. относительно аддитив. справа и слева.

a (b + c) = (ab) + (ac), (b + c)  a = (b a)   +  (c a )

Все эл-ты поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые эл-ты — абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

Тело — кольцо, для кот. в случае изъятия 0 вып. усл.:

1) $ е для мультипликативной операции а е = е а = а

2) $ а^# для мультипликативной операции а а^# = a^# a = e

3) Мультипликативная операция коммутативна ab=ba

Теорема. Кольцо явл. телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух эл-тов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых эл-тов a, bΠA, где a ¹ 0.

22. Решетка как универсальная алгебра. Решетка как частично упорядоченное множество. Мажоранта, максимальный элемент, наименьшая верхняя (точная верхняя) грань множества Sup. Миноранта, минимальный элемент, наибольшая нижняя (точная нижняя) грань множества Inf. Связь двух определений решеток.

РЕШЕТ КАК УНИВЕРСАЛ АЛГЕБ::::

__Решетка - алгебра с двумя бинарными операциями + , ⊗ удовлетворяющая следующим тождествам

1) _идемпотентность, a+ a = a, a  ⊗ a = a

2)_Коммутативностьa + b = b + a, a  ⊗ b = b ⊗ a 3)_Ассоциативнос (a + b) + c = a + (b + c), (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)

4)_Поглощение ( a ⊗ a)  + b = a, ( a + a) ⊗ b = a 

РЕШ КАК ЧАСТИЧ УПОР МН_ВО::::

__Решетка — частично упорядоченное множество, в котором каждое 2-ухэлементное подмнож. имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани.

МАЖОРАНТА ,,…….:::::

__Эл-т а из А есть мажоранта множ. В, если эл-т

a есть последующий или равный эл-т для всех b из B.

___Если мажоранта Î B, то она максимумом множ. B.

___Если множ. мажорант имеет минимум, то он единственен и его называют наименьшей верхней гранью Sup B.

МИНОРАНТА,…..,…..:::::

___Эл-т а из А есть миноранта множ. В, если эл-т

a есть предшествующий или равный эл-т для всех b из B.

__Если миноранта Î B, то она минимум множ. B.

___Если множ. минорант имеет максимум, то он единственен и его называют наибольшей нижней гранью Inf B.

СВЯЗЬ ДВУХ ОПРЕД РЕШЕТКИ::::

_Решетка - алгебра с двумя бинарными операциями "+" , "*" удовлетворяющая определенным тождествам

__Решетка — частично упорядоченное множество, в котором каждое 2-ухэлементное подмнож. имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани

__Связь между двумя определениями решетки: a +b = sup {a, b},         a * b = inf {a, b}