35. Алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в общем случае – алгоритм Форда-Беллмана. Сложность алгоритма
__Кратчайшим путем между двумя вершинами называется путь имеющий минимальную дину.
__Кратчайшим расстоянием между двумя вершинами называется длина кратчайшего пути.
__Данные: Ориентированный граф <V, E> с n вершинами с выделенным источником s Î V, матрица дуг A[u, v], u, v Î V (граф не содержит контуров отрицательной длины).
__Результаты: Расстояния от источника до всех вершин графа: D[v]=d(s, v), vÎV.
__В каждой итерации (верхний цикл) производится новая оценка расстояния для всех вершин vi (средний цикл) кроме источника.
__Оценка расстояния для каждой вершины vi, происходит путем сравнения расстояния через все вершины ui существующие в этом графе, кроме источника (внутренний цикл): NО = D[v] и D[u]+A[u,v]
___В наихудшем случае, за каждую итерацию найденные минимальные пути включают 1 промежуточную вершину. Кратчайший путь между двумя вершинами в графе с n вершинами может содержать n-2 промежуточные вершины. Тогда в наихудшем случае потребуется n-2 итерации.
СЛОЖНОСТЬ АЛГОРИТМА:
__Очевидно, что временная сложность алгоритма есть O(n3). Три вложенных друг в друга цикла.
___Можно, закончить вычисления, когда выполнение очередной итерации не вызывает изменения ни одной из переменных D[v], v Î V. Это может наступить для k < n – 2, однако такая модификация алгоритма не изменяет существенным образом его сложности.
___Для редких графов (m << n2) удобнее представлять граф списками предшествующих вершин ПРЕДШ[v], v Î V. Заменяя строку 5 на
for u Î ПРЕДШ[v] do D [v] := min(D[v], D[u] + A [u, v]),
получаем алгоритм со сложностью O(nm).
36. Алгоритм Дейкстры — алгоритм нахождения кратчайшего расстояния от источника до всех верши в случае неотрицательных весов. Сложность алгоритма.
Данные: орграф <V, E> с n вершинами с выделенным источником s Î V, матрица весов A[u, v], u, v Î V (без отрицательных весов).
Результат:
определены расстояния от источника до
всех вершин графа:
,
.
Сложность
алгоритма —
.
Алгоритм:
Находится минимальное расстояние от источника до какой-либо вершины.
Найденное минимальное расстояние для этой вершины больше не изменяется.
Вершина с минимальным расстоянием исключается из множ. вершин, для которых ищут минимальное расстояние.
Расстояние до этой вершины используется для оценки кратчайших расстояний до других вершин.
Процесс повторяется, пока для каждой вершины не будет найдено минимальное расстояние.
37. Лемма о перенумерации вершин. Алгоритм перенумерации вершин графа.
Лемма.
В произвольном бесконтурном графе
вершины можно перенумеровать так, что
каждая дуга будет иметь вид
,
где
.
Данные: бесконтурный орграф <V, E>, определяемый списками смежности ЗАПИСЬ [v], v Î V.
Результаты: Определен номер NR[v] для каждой вершины v Î V такой, что для произвольной дуги áu, vñ Î E выполняется нер-во NR[u] < NR[v].
NUM – номер последней пронумерованной вершины.
ЧЗАХ [v] – массив с числом дуг, вход. в каждую вершину.
CTEK – вершины, в которые не заходит ни одна дуга.
Сложность — О(m), т. к. каждая дуга анализир. 1 раз.
Алгоритм:
Алгоритм основывается на том, что в произвольном (непустом) бесконтурном графе существует вершина, в которую не заходит ни одна дуга. Такие вершины накапливаются в стеке.
В строке 10 выбирается верхний эл-т стека u и этой вершине присваивается самый маленький из еще неиспользованных номеров. Т.е. все дуги, выходящие из этой вершины, ведут к вершине с большими номерами.
Затем вершина u вместе с выходящими из нее дугами удаляется из графа. Это приводит к уменьшению на единицу числа дуг, заходящих в каждую вершину v и выходящую из u.
Если для какой-нибудь вершины v число заходящих дуг сводится к нулю, то v помещается в стек.
Опустошение стека, вызывающее окончание выполнения алгоритма (цикл 9), наступает не раньше, чем после присвоения номеров всем вершинам графа.
Begin
for v Î V do ЧЗАХ [v] := 0; ЧЗАХ [v] - число дуг, заходящих в v
for u Î V do
for v Î ЗАПИСЬ [u] do ЧЗАХ [v] := ЧЗАХ [v] + 1; // подсчет дуг в вершинах
СТЕК := Æ;
for v Î V do
if ЧЗАХ [v] = 0 then СТЕК Ü v; //если в v не заходят дуги, то она в СТЕК
num := 0; //обнуляем присваиваемый номер
while СТЕК ¹ Æ do
begin u Ü СТЕК; // достаем вершину из СТЕКа
num := num + 1; NR[u] := num; //присваиваем ей следующий номер
for v Î ЗАПИСЬ [u] do
begin ЧЗАХ [v] := ЧЗАХ [v] – 1; // уменьшаем на 1 число зах. в смеж. вер.
if ЧЗАХ [v] = 0 then СТЕК Ü v; //если в v нет дуг, вставляется в СТЕК
end
end
End