12 Графический метод решения злп

П римен для реш-я задач малой размерности,когда число перем. ≤3.

Описание графич. метода:

Шаг 1: графич. способом строится обл. огр. D исходной задачи.

Шаг 2: строится направляющий вектор с”=f(x”)

Шаг3:ч/з любую точку обл D проводится пл-ть(прямая), ортогональная вектору с”.

Шаг 4: построенная пл-ть перемещ-ся в направ-и вектора c” параллельно самой себе до точки последнего соприкосн-я перемещаемой пл-ти (прямой) с обл-тью D.Точка отрыва опред-т оптим план задачи.

Шаг 5: устан-ся точные знач-я компонент оптим плана,для чего реш-ся с-ма ур-ий тех пл-тей(прямых), в рез-те пересеч-я к-ых появл т оптим плана.

13 Двойств злп. Двойств лемма.

Каждой ЗЛП м поставить в соотв др ЗЛП, кот. наз двойственной по отнош к исх,представ в симметр форме:

ПрямаяЗЛП: Двойств

f(x”)=c”^тx”→max <=>g(y”)=b”^тy”→min

С-маAx”≤ b” A^тy” ≥ c”

x” ≥ 0 y” ≥ 0

c”,x”Є Rⁿ, b” Є R^m b”,y”Є R^m, c”Є Rⁿ

Эти задачи обр-т двойств пару ЗЛП. Задачи двойств пары дополн друг друга и часто реш-е 1из них можно получ, анализ-я реш-е другой.

Двойств лемма:Для ¥плана х” прямой ЗЛП,и¥ плана y” двойств зад справ-во:

f(x”) ≤ g(y”)

Сл-вие:Если для не*ых планов x”* и y”* f(x”*)=g(y”*),то планы явл оптим. планами в своих зад. Комп-ты x”* оптим. плана прямой задачи наз прямыми оценками Комп-ты y”* оптим. плана двойств задачи наз двойств оценками.

14. 1-я т. двойств-ти:Если 1 задача двойств. пары имеет оптим. план,то и 2тоже имеет оптим. план, причём зн-я цел ф-й этих задач на этих планах =. Если цел ф-я 1й из задач двойствен. пары не огранич, то мн-во допуст реш-й др задачи пусто.

2-я т. двойств-ти:План x”* прямой задачи и план y”* двойств задачи явл оптим. планами своих задач<=> вып-ся соотн-е:

(Σ_i=1ⁿa_ijx^*_j - b_j)y*_i = 0, i = 1, m

(Σ_i=1^ma_ijy*_i – c_j)x*_j = 0, j = 1, n

Сл-вие:Если к-л комп-та оптим. плана 1й из задач двойств. пары отлична от 0,то соотв огр-е др задачи д. вып-ся как точное рав-во.Если к-л огр-е 1й из задач двойств пары вып-ся как строгое нерав-во,то соотв комп-та оптим. плана др задачи этой пары равны 0.

Эконом интерпретация двойств оценок.Согласно 1-й теореме двойств-ти, зн-я цел ф-й двойств пары на оптим планах =Σ_j=1ⁿc_jx*_j=f(x”*)=g(y”*)=Σ_i=1^mb_iy*_I Пусть цел ф-я прямой задачи f(x”*) выр-ет прибыль ($), а b_i, i=1,m–общее кол-во ресурса i-го вида,использ для получения прибыли.Тогда y”*_i д. выр-ся в $ на ед-цу ресурса, выражая его цену.Двойств оценки иногда называют «теневыми ценами».Они мб использ для опред-я приоритета рес-ов в соотв. с их вкладом в общ прибыль.Они показ, на ск-ко измен max прибыль при измен запаса соотв. ресурса на ед-цу.Для любых неоптим. планов x” и y” задачи двойтсв. пары справ-во: f(x”)<g(y”) В экон. интерпрет-и это означ: прибыль<общ ценности рес-ов. До тех пор,пока нерав-во строгое, реш-я не оптим, оптимум достиг-ся, когда прибыль= общей ценности рес-ов