5 Т.О необх-х усл-х экстремума.Т.О дост-х усл-х экстремума. Теорема о необх-х условиях экстремума

Пусть ф-ия f(x”) имеет в т. y” экстремум, тогда т.y” явл стационарной,т.е. f(y”)=0(1) Соотнош (1) означ,что все частные пр-ные 1го пор в т.экстремума=0

f(y”)/x_i=0, i=1,n (10)

6.Т-ма о дост-х усл-х экстремума.

Пусть ф-ия f(x”) имеет непрерывные пр-ные 2-го пор в стац-й т.y”,тогда т. y”явл-ся т.max,если м-ца Гессе Н(y”) ф-ии f(x”)в т. y” отриц-но опр-на, и т. min-ма,если м-ца Н(y”) полож-но опр-на. Лежит в основе класс метода поиска экстремума ф-и без огранич-й.

7. Понятие полож (отриц) опред-ти матрицы

Справ-вы след-е утв-я: 1)квад-я м-ца полож-но опр-на зн-я всех ее гл-х миноров полож-ны

2) квад-я м-ца отриц-но опр-на  знаки ее главных миноров к-го порядка опр-ся знаком (-1^K) k=1,n

8. Классич метод поиска экстремума ф-и без ограничений

1)решить сист-у ур-й f(y”)/x_i=0 i=1,n либо f(y”)=0 и найти все стац-ые т.-и ф-и f(x”)подозрительные на экстремум

2)устан тип опред-ти м-цы Гессе ф-и f(x”) во всех найден-х стац-х т.-х и опр-ть тип экстремума в этих т.-х(мах или мin)

9 Метод множ-й Лагранжа

Решается задача f(x”)→max(min) (1) при усл с-мы g1 (x”)=b1… gm(x”)=bm (2),где g1 (x”)=b1… gm(x”)=bm-заданные ф-и огран-й, b1…bm-заданные числа,прав часть огран-й. Компактно: f(x”)→max(min)(3) g”(x”)=b”(4), g”(x”)-m-мерная вектор-ф-я ограничения, b”-заданный вектор прав части огран, x”Rⁿ

В основе м-да лежит факт,что в т. усл-го экстремума x”*D,где D-обл-ть огран-й задачи,т.е.мн-во решений с-мы ур-ий, градиент целевой ф-ии f(x”*)д.б ортогонален касат-й гиперпл-ти к области огр-ий D в т.x”*(область D опр-ся множ-м реш-й с-мы огр-ий )=>должны сущ такие числа ₁,₂,…_m- наз-ые множ-ми Лагранжа, для кот-х ▼f(x”*)=∑_i=1^m_i▼gi(x”*)

т.е. градиент цел ф-ции предс-н в линейной комбинации градиентов ф-ий

10 Условия Куна-Таккера

Реш-ся задача f(x)–›max(min) (1)

gi(x)≤bi, i=1,m (2) С-ма усл-ий К-Т исп-ся для поиска стац точек ф-и Лагранжа в задаче 1-2.

Теорема К-Т

Необх-ми усл-ми сущ-я стац т. ф-и Лагранжа L(x”,”)=f(x”)+∑_i=1^m i(bi-gi(x”) явл след усл-я

_i(bi-gi(x”))=0

f(x”)/x_j-∑_m=1^m_i*gi(x”)/x_j=0 j=1,n

gi(x”)≤b i=1,m

При этом _i≥0,i=1,m в случ когда ищется max цел ф-ции f(x) или _i≤0,i=1,m,когда ищет-ся min

Усл-я К-Т компактно:

”^t(b”-g”(x”))=0

▼_x”f(x”)- ”^tRg”(x”)=0 (4)

g”(x”)≤b” Rg”-м-ца Якоби

Т о единственном экстр-ме строго выпуклой(вогнутой)ф-и

строго выпукл(вогнут) ф-я f(x”)на вып-м множ-ве DRⁿне может иметь >1 т. глоб-го max-ма(min)

Т лежит в основе мет К-Т выпукло-вогнутого программ-ия в к-ой цел ф-ция и обл огран удовл-т достаточн усл-м К-Т. В соотв-и с т о единств экстремума, найден-я экстр-я т явл реш-м задачи.

11 Формы представления злп

ЗЛП называется оптимиз. задача f(x”)→ max (min) (x”ЄDcRⁿ), где f(x”)=c”^tx”=Σ_j=1ⁿ c_jx_j – линейная цел ф-я,а D выпуклый многогр-к.

Т.об эквив-ти форм предст-я ЗЛП

1.ЗЛП в канонич форме f(x”)→max (min)

С-ма x”≥0 Ax”=b”

2.ЗЛП в симметрич. форме f(x”)→max (min) С-ма Ax”≤b” x”≥0

3.ЗЛП в общей форме ( со смешан. огра-ми) f(x”)→max (min) С-ма A₁x”=b”₁ A₂x”≤b”₂ x”≥0

З При этом любая из этих форм эквивалентна(дает 1 и то же реш-е исх задачи)