1 Теорема Кронекера-Капелли

СЛУ Ах”=b” была совместна<=>когда ранг м-цы с-мы = рангу расширенной м-цы с-мы:r(A)=r(Ab”)

Док:(необх-ть) Пусть с-ма совместна, т.е сущ y”€Rⁿ, чтоAy”=b(*),y”-реш-е с-мы.Предст-м(*)в векторной форме:

y1A”1+y2A”2+..ynA”n=b”(**)

столбец b в расшир м-цы с-мы(A|b”) явл лин-й комбинацией столбцовА.По т о ранге:r(A|b”)=r(A)

достаточность

Пусть r(A|b”)=r(A)=k.Значит что сущ базис G=A”i1,A”i2..A”ik в с-ме всех столбцов м А и м (A|b”),что¥ из столбцов в т.ч b” м.б. предс-н в виде лин-й комбинации столбцов базиса.Сущ-т ₁,₂…_k что

∑_p=1^k_pA”_ip=b”

x”^t=(0,.. ₁,0,..₂,0,..0._k ,0..)

(i1) (i2) (ik)-№ компонентов вектора x” явл реш-м СЛУ(*)

Следствие Однород СЛУ имеет не нулевое реш-е<=>ранг м-цы с-мы < числа её неизвестных

2 Метод Крамера решения слу

предназ-н для реш-я СЛУ в *ых кол-во ур-й= числу неизвестных т.е. для СЛУ с квадрат м-цей с-мы

В основе метода лежит т. Крамера:

1) СЛУ Ах”=b” с кв м-цы с-мы А им-т един-е реш-е<=> опред-ль м |A|0

2) В этом случае решение с-мы м.б. найдено по ф-ле Крамера:x_j=Д_j(b”)/Д j=1,n, где xj-j-я компонента решения х”

Д=|A|-опр-ль м-цы с-мы

Д_j(b”)–опред-ль м-цы,в *ой j-столбец (A”j) заменен на столбец пр части с-мы(b”)

3 Метод Гаусса решения слу

Для реш-я любых СЛУ.Алгоритм:

1)Из с-мы, получ-й на предыдущих шагах, удал-ся все пустые ур-я вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0. если в оставшейся с-ме имеется хотя бы 1 противоречивое ур-е вида 0х₁+0х₂+…0х_n=b0 преобр-я заканч-ся с выводом о несовместимости с-мы ур-й,(реш-я нет)

2)Пусть противореч ур-ий нет, тогда 1 из ур-й выбир-ся за разрешающее ур-ие и 1 из неизв за разрешающее неизв-ное. К выбору предъявл-ся след требования:

а)на предыд-х шагах выбранное ур-е не было разрешающим б)коэф-т при разреш-ем неизв-ном д.б. отличен от 0. Этот коэф-т наз разрешающим эл-том

3)Из всех ур-ий, кроме разрешающего, исключ-ся разрешающие неизв-ные. Для этого к каждому из таких ур-й прибавл-ся разреш ур-ие, умнож на соотв число

Преобраз-я заканч-ся, если ни одно из ур-ий не м.б. взято за разрешающее (т.к все они перебывали в этой роли) Те неизв-е, *ые были разреш-ми наз базисными, все оставшиеся наз свободными неизв-е, к-ые м принимать ¥ зн-я.

Если фин-ая СЛУ содержит столько же ур-ий ск-ко неизв-х,то все они базисные. Число своб-х =0,то исход СЛУ имеет 1 решение.Когда число ур-й финальной с-мы <числа неизв-х, то исх-я с-ма имеет бесчисленное мн-во реш-й, при этом свобод неизв-е могут приним любые зн-я

З1.Описаныее преобр-я явл элемен-ми преобр-ми СЛУ и м.б. представ-ы в виде элем-х преобр-й над строками расшир-ой м-цы иходной СЛУ

2.На ¥ шаге м-у ¥ дейст-ми допускается провед-е упрощающих элем-х преобр-й

3.В ¥ момент реал-ции алг-а получ-ую преобраз-ю СЛУ м зафиксировать.Опр-ть ее как исходную и начать процесс реш-я заново.Это м.б. нужно,когда не*ые своб и базисные неизв-е требуется поменять местами

4. М-цей Якоби R_g”(z”) вектора-ф-ии g”(x”) в т.z”наз м-ца размера m×n,эл-ты кот-й rij опр-ся соот-ем: r_ij=g_i(z”)/x_j, i=1,m j=1,n

Т о градиенте. Градиент ф-ии f(x”) в т. y” указ-ет напр-е наискорейшего роста ф-ии в т.y”;при этом мах скорость роста=модулю градиента U”Rⁿ,U”=1 Max !f(y”)/U”!=f(y”)

Градиентом f(z”)ф-ции f(x”) в точке z” наз вектор, компоненты *го =знач-м частных пр-ных 1 пор дан ф-ции

^Tf(z”)=(f ’_x1(z”),…f ’_xn(z”))

Кв м-ца H(z”),эл-ты *ой опред знач-ми частных пр-ных II порядка ф-и f(x”) в точке z”,т.е. h_ij=f’’_xixj(z”)=²f(z”)/x_ix_j i,j=1,n наз матрицей Гессе ф-ции f(x”) в точке z”