5.4. Фазово-частотная характеристика

ФЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими АФЧХ по такой формуле:

(72)

В MathCAD и Excel функция «arctg(I()/R())» может быть задана двумя способами:

• atan(I()/R()), возвращает угол от - / 2 до  / 2;

• atan2(R(),I()), возвращает угол от - до .

Рекомендуется использовать вторую функцию.

График ФЧХ строится в диапазоне частот от 0 до 1.2 рад/с.

«Излом» графика происходит при достижении функцией «()» значения -. Происходит «скачок» на , с последующим дальнейшим убыванием функции.

5.5. Установившийся частотный режим работы системы управления

Входной частотный сигнал задается функцией вида

(73)

Примем такие его параметры:

Амплитуда входного сигнала: (74)

Фаза входного сигнала: (75)

Эти значения могут быть произвольными, но для простоты рекомендуется их принять такими.

Частота сигнала соответствует резонансной частоте:

(76)

Частота может быть любая из полосы пропускания, но если есть резонансная, рекомендуется принять её.

С учётом принятых параметров:

(77)

Выходной сигнал определяется функцией вида:

(78)

Его параметры определяются частотными характеристиками системы:

АЧХ при резонансной частоте имеет максимум и примерно равна:

(79)

Эта цифра показывает, во сколько раз амплитуда на выходе больше чем на входе, значит:

Амплитуда выходного сигнала:

(80)

ФЧХ при резонансной частоте примерно равна:

(81)

Эта цифра показывает, на сколько фаза на выходе сдвинута по отношению к фазе на входе, значит:

Фаза выходного сигнала:

(82)

С учётом вычисленных параметров:

(83)

График установившегося частотного режима имеет такой вид:

На графике отображаются входной и выходной частотные сигналы (77) и (83). Для добавления второй функции на график в MathCAD нажмите «,» (запятую) в английском регистре в маркере вертикальной оси – появится второй маркер. Тип и цвет линии графика задаётся в пункте «Формат» контекстного меню графика (правая кнопка мыши) на вкладке «traces».

6. Моделирование работы системы управления

Моделирование проводится в программе VisSim. Приёмы моделирования систем управления в программе VisSim.

1. Переходная характеристика системы управления

Переходная характеристика получена при оптимальном значении параметра .

Время регулирования системы управления примерно составляет .

Установившееся значение управляемого сигнала .

2. Проверка диапазона устойчивости

В вопросе устойчивости система может быть:

• устойчива (переходная характеристика в виде затухающих колебаний как в предыдущем пункте 6.1., или в любом случае выходит на постоянное «горизонтальное» значение);

• неустойчива (раскачивающаяся переходная характеристика в виде «расходящихся» колебаний с резко возрастающей амплитудой, или в любом случае уходит в бесконечность вверх или вниз);

• нейтральна (переходная характеристика в виде «ровных» колебаний с постоянной амплитудой – система не может вернуться в состояние равновесия, но и не уходит в бесконечность. Это наблюдается на границе диапазона устойчивости)

В блоке «Усилитель» значение параметра изменяется с оптимального 0.7 на границу устойчивости 2.5.

При моделировании подтвердилось, что на расчётной границе устойчивости (43) при – система нейтральна.

Это подтверждает правильность найденного диапазона устойчивости (43) в пункте 4.1.