15. 19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b], принимает свое наибольшее значение М в точке х1, а наименьшее m — в точке х2. Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М.

Следствие 19.1 . Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри

этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 19.2. Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения ƒ(х)=0.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.

\

16-17. Определение производной. Физический смысл.

Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение  , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

18. Дифференцируемость функции в точке. Условия дифференцируемости функции в  точке.

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

 

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство  Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A . Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0, то ее можно представить:f(x)=b+α(x) (α(x)→0). Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

 

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительноΔx часть приращения функции Δy в данной точке.

 

 

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке. Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx  и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.  Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.  Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.