Билеты 11-20

11. 18.1. Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.

и

1. Если =А¹0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.

<< Пример 18.1<

Сравнить порядок функций α=3х2 и  ß=14х2  при х→0

Решение: При х→0 это б.м.ф. одного порядка, так как

Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью

<< Пример 18.2

Являются ли функции α=3х4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0?

Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как

В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß.

<< Пример 18.3

Сравнить порядок функций α=tgx и ß=х2 при х→0.

Решение: Так как

то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß.

<< Пример 18.4

Можно ли сравнить функции     и ß=х при х→0?

Решение: Функции   и ß=х при х→0 являются несравнимыми б.м.ф., так как предел

не существует.

12. 19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х→хо;

3)  предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как     то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение хо.

Например,  . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции еx . 

<< Пример 19.1

Вычислить   

Решение:

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку хоє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-хо называется приращением аргумента х  в точке х0и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x0. Отсюда х=х0+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х0 и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х0 и х-х0→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид   или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непре-рывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.

Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

Тогда

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.