1.2. Конечные поля
Полем называется множество с двумя определенными на нем операциями - сложением и умножением, причем имеет место следующее:
1) Множество образует абелеву группу по сложению.
2) Поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелеву группу по умножению.
3) Закон дистрибутивности: (a + b)c= ac + b·c, для любых a, b и c из поля.
Единичный элемент
относительно сложения принято обозначать
через 0 и назвать нулем, аддитивный
обратный элементу а
элемент -
через - а;
единичный элемент относительно умножения
- обозначать через 1 и называть единицей;
мультипликативный обратный к элементу
а
элемент - через
.
Примерами полей являются: множество вещественных чисел; множество комплексных чисел. Эти поля содержат бесконечное число элементов. Конечное поле или поле Галуа содержит конечное число q элементов и обозначается GF(q). Примером конечного поля является поле GF(7) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) для которого приведены таблицы 1.1 и 1.2 (сложения и умножения):
Таблица 1.1 Таблица 1.2
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
|
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
3 |
0 |
3 |
6 |
2 |
5 |
1 |
4 |
|
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
4 |
0 |
4 |
1 |
5 |
2 |
6 |
3 |
|
|
4 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
0 |
5 |
3 |
1 |
6 |
4 |
2 |
|
|
5 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
0 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
6 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
В общем случае умножение и сложение в поле GF(7) не является умножением и сложением по модулю 7.