46.Интервалывыпуклости и вогнутостикривой, точки перегиба

График функции может быть выпуклым или вогнутым.

Определение 1. График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже ее любой касательной на этом интервале.

Определение 2. График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше ее любой касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы:

Теорема 1. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график в этом интервале выпуклый. Если – график вогнутый.

Определение 3. Точка, при переходе через которую кривая изменяет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема:

Теорема 2. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Пример 1. Найти интервалывогнутости, выпуклости и точки перегибакривой, заданнойуравнением .

Решение. Найдем производные первого и второго порядков:

.

Приравняем к нулю:

,

отсюда находим корни:

.

Р ешая неравенство с помощью метода интервалов, имеем: ,

таким образом, на интервалах производная , кривая вогнута, а на интервале кривая выпукла.

Точки есть точки перегиба кривой.

47 Асимптоты

Определение 1. Асимптотой кривой называют прямую, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Определение 2. Вертикальной асимптотой графика функции называют прямую , когда , или , или .

Определение 3. Наклонной асимптотой графика функции при называют прямую , если функцию можно изобразить в виде , где , когда ( ).

Если , то . Тогда – уравнение горизонтальной асимптоты.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция определена и непрерывна в интервалах и . Ось функция пересекает в точке . С осью точек пересечения нет. Найдем асимптоты графика функции:

1) , т.е. — вертикальная асимптота;

2) ,

,

итак,

– наклонная асимптота;

3) , таким образом, горизонтальной асимптоты нет.