Основные свойства дифференциала

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

. (3)

Теорема 1.Дифференциалы суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами

, (4)

, (5)

. (6)

Теорема 2.Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение.

43.Применение дифференциала к приближенным вычислениям

При малых справедливая формула , т.е.

. (7)

Данная формула широко применяется в вычислительной практике, так как дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции.

Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференци-ала значение функции в точке .

Решение. Ближайшая к 1,97 точка, у которой легко вычислить значение и , – это точка .

, .

По формуле 2 имеем

44.Монотонность функции. Экстремумы функции

Предположим, что функция определена на некотором промежутке (а; b), а является внутренней точкой этого промежутка.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на множестве ; если , то функция называется убывающей на множестве ; если , то функция называется невозрастающей на множестве .

Теорема 1(необходимое условие).Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для .

Теорема 2 (достаточное условие). Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Определение 2. Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Аналогично определяется точка минимума функции: – точка минимума функции, если .

Определение 3. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции

45Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть на отрезке задана непрерывная функция , достигающая на данном отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти как внутри отрезка, так и наего кон-цах. Отсюда вытекает способ нахождения точек, в которых функция приобретает наибольшее и наименьшее значение на отрезке :

1) найти критические точки функции;

2) вычислить значение функции в критических точках, которые принадлежат отрезку, и на концах отрезка;

3) наибольшее (наименьшее) значение среди образованного множества и будет наибольшим (наименьшим) значением функции, заданной на отрезке .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим стационарные точки. Для этого найдем производную:

Приравнивая эту производную к нулю и решая уравнение

,

получаем стационарные точки: . Точек, в которых функция не существует, нет.

Вычисляем значение функции в точках , а также на концах отрезка, т.е. в точках :

Итак, наибольшее значение , наименьшее есть .