37.Производныепоказательных и логарифмическихфункций

(1)

(2)

(3)

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

38.Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно у.

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение пох, рассматривая при этомукак функциюх, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

39Дифференцирование неявной функции и функции, заданной параметрически

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно у , то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно у.

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение пох, рассматривая при этомукак функциюх, и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируя, имеем

Из этого уравнения находим:

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле

40.Геометрическое содержание производной

П роизводная функции для каждого значения х равняется угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке, т.е.

,

где – угол, который образует касательная к графику функции в точке с положительным направлением оси .

На основе геометрического содержания производной уравнение касательной к графику функции записывается таким образом:

(1)

Если непрерывная функция в точке имеет бесконечную производную, тогда касательной к графику функции в точке является прямая .

Для нормали, т.е. прямой, проходящей через точку , перпендикулярно касательной (прямая ), уравнение имеет вид

или (2)

В случае нормалью будет прямая ; если функция в точке имеет бесконечную производную, тогда нормалью к кривой будет прямая .

В некоторых задачах нужно найти угол между прямыми и в их точке пересечения.

Углом между кривыми считается величина угла между касательными к данным кривым, в их точке пересечения; вычисляется по формуле:

41.Физическийсмыслпроизводной

Под физическим смыслом производной понимают скорость изменения функции в данной точке. Например:

1) при движении тела скорость в данный момент времени есть производная от пути :

2) при вращательном движении твердого тела вокруг оси угловая скорость в данный момент времени есть производная от угла поворота: :

3) при охлаждении тела скорость охлаждения в момент времени есть производная от температуры:

4) теплоемкостьС для данной температуры есть производная от количества тепла :

5) при нагревании стержня коэффициент линейного расширения при данном значении температуры есть производная от длины :

42.Дифференциал функции

Дифференциал функции, как и производная, применяется при решении ряда практических задач, в частности в приближенных вычислениях.

Определение 1. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или )

(1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (1) можно записать так:

(2)

откуда