24Полярная система координат

Полярная система координат определяется некоторой точкойО, являющейся полюсом,лучом, исходящим из этой точки, называемого полярной осью, и масштабом для измерения длины.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа – полярный радиус, и – полярный угол. Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки. Исходя из определения, полярный радиус , а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

25.Связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами:

; ;

; .

При этом предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат - с полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба.

26.Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .

Определение 1. ЧислоА называется пределом функции в точке при , если для любого положительного найдется число такое, что при всех , выполняется неравенство . При этом пишут .

Определение 2. ЧислоА называется пределом функции при , если для произвольного существует число такое, что при выполняется неравенство . При этом пишут .

Определение 3. Функция называется бесконечно малойпри , если .

Определение 4. Функция называется бесконечно большойпри , если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие величины при .

Очевидно, что всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности.

Однако, если , где , то функция ограничена в окрестности точки .

Бесконечно большие величины находятся в тесной связи с бесконечно малыми: если при данном предельном переходе функция есть бесконечно большой, то функция при этом самом предельном переходе будет бесконечно малой и наоборот.

27. Функция называется бесконечно малойпри , если .

Свойства бесконечно малых функций

1. Если , то .

2. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

3. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

4. Произведение двух б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

5. Произведение б.м.ф на число есть бесконечно малая функция.

6. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.

7. Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа Аи б.м.ф. , т.е. если

, то .

28. Если то , то и называются эквивалентными бесконечно малыми, и записываются .

Теоремы об эквивалентных бесконечно малых

Теорема 1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них (или одну) заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 2. Чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка в сравнении с каждой из них.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

29. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют пределы:

– первый замечательный предел;

30. ; – второй замечательный предел,

где е — иррациональное число, е = 2,718281...

Следствия из замечательных пределов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Если при , то справедливы такие эквивалентности:

1. 2.

3. 3.

4. 5.

6. 7. .

31.Непрерывность функции.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке :

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

На практике при исследовании функций на непрерывность пользуются признаками, которые непосредственно вытекают из соотношение (1), а именно:

для того, чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо:

1) была определена в окрестности точки ;

2) существовала левосторонний предел функции в точке, т.е. существовало число

;

3) существовал правосторонний предел функции - число

;

4) левосторонний и правосторонний пределы были бы равны

= ;

5) левосторонний и правосторонний пределы в точке равны значению функции в этой точке, т.е.

= =

Определение 2. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется в точке, которая является внутренней точкой промежутка, в котором определена функция, то функция в этой точке называется разрывной.

Определение 3. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Определение 4. Точка является точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние), т.е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва.

32.Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

.

Определение 2. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцированной вэтом интервале.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функции и – две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема 2.Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Теорема 3.Производная произведения двух функций равна произведению про­изводной первого сомножителя на второй сомножитель, плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

34.Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

.

35. Производная сложной и обратной функции

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле:

или

Приведенное правило вычисления производной сложной функции применяется и для композиции произвольного конечного числа функций.

Например, для сложной функции вида , где , , – дифференцированные в соответствующих точках функции, имеет место равенство

.

36.Если функция строго монотонна на интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством или .