10. Общее уравнение прямой

. (1)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

. (2)

Если две прямые заданы общими уравнениями

и

тогда условие их параллельности имеет вид:

; (3)

а условие их перпендикулярности:

. (4)

Косинус угла между прямыми находят по формуле

. (5)

Расстояние от заданной точки до прямой, заданной общим уравнением, находят по формуле

. (6)

Каноническое уравнение прямой, проходящей через задан-ную точку параллельно заданному вектору :

. (7)

Уравнение вида (7) называют каноническим уравнением прямой, а вектор — направляющим вектором прямой.

Если направляющим вектором прямой взять вектор ,тогда получим уравнение прямой, которая проходит через две заданных точки и :

(8)

Из уравнения (8) легко получить уравнение прямой вида

, (9)

Которое называют уравнением прямой в отрезках, поскольку прямая отсекает от координатных осей отрезки а и b.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

, (10)

где – угол наклона прямой к осиОх, b – отрезок, который отсекает прямая от осиОу.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентами и

и ,

11. тогда угол между этими прямыми находят по формуле:

; (11)

условие параллельности этих прямых имеет вид:

;\

а условие перпендикулярности выглядит так:

или . (13)

12. Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Расстояние между двумя точками и :

(14)

Деление отрезка , точкой в заданном отношении :

(15)

Уравнение прямой, которая проходит через точку в заданном направлении:

, (16)

где k – ее угловой коэффициент.

Если прямая параллельна оси , то ее уравнение , если прямая параллельная оси , то ее уравнение .

13.Уравнение прямой, которая проходит через две точки и :

(17)

Пересечение двух прямых находится по формуле:

(18)

Система имеет единое решение, если .

Если , то прямые параллельны. (19)

Если , то прямые совпадают. .

14.Уравнение плоскости в отрезках на осях:

, (28)

где a, b, и с – величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.

15.Каноническое уравнение прямой в пространстве:

,

где – координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n, p – направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

16. Острый угол между прямой и плоскостью :

17.Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , :

18.Уравнение плоскости в отрезках на осях:

, (28)

где a, b, и с – величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.

19.Угол между плоскостями и :

. (30)

Условие параллельности плоскостей:

(31)

Условие перпендикулярности плоскостей:

(32)

Расстояние от точки до плоскости :

20.Кривые линии второго порядка

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид

, (1)

где коэффициенты действительные числа и хотя бы одно из чиселА, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Определение 2. Окружностью называется совокупность точек, равноудаленных от одной и той же фиксированной точки – центра окружности.

Уравнение окружности имеет вид:

, (2)

где – координаты центра окружности, а R – радиус окружности.

21. Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Уравнение эллипса имеет вид:

(3)

где а – большая, – малая полуоси эллипса.

Если 2с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами и ), то междуа, b и с существует соотношение:

22.Гиперболой называется совокупность точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух заданных точек, (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(4)

где а – вещественная, b – мнимая полуоси.

Если 2с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами и гиперболы), то междуа, b и с существует соотношение:

При b = a гипербола называется равносторонней.

Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

23.Параболой называется совокупность точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

(5)

где р - параметр, равен расстоянию от директрисы до фокуса, р > 0.

Координатыфокуса

.

Уравнение директрисы

.

Эксцентриситет параболы

.

Виды уравнений параболы: