4. Матричный способ решения системы

Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.

Используя правила умножения матриц, данную систему уравнений можно записать в виде АХ = В , где

Пусть матрицаА невырожденная, т.е. . Умножая обе части матричного уравнения слева на матрицу , получим обратную матрицы А:

Учитывая, что , имеем .

Пример 1. Решить систему уравнений матричным способом:

5 Теорема Кронекера-Капелли

Обозначим черезА основную матрицу системы (1), которая составлена из коэффициентов при неизвестных, а через — расширенную матрицу этой системы, которая получена путем дополнения матрицы А столбцом свободных членов, т.е.

; .

6. Векторы и действия над ними

Определение 1. Скалярныминазываются величины, которые характеризуются одним числом.

Определение 2. Вектор – это направленный отрезок. Векторы обозначаются одной , или двумя буквами , .

Определение 3. Длиной вектора называется его модуль и обозначается или :

, (1)

где – координаты вектора.

Направляющие косинусывектора определяются по формулам:

. (2)

Если известны координаты начала и конца вектора, то координаты вектора определяются по формуле:

. (3)

Длина вектора :

. (4)

Определение 4. Вектор, длина которого равняется нулю, называетсянулевым вектором.

Определение 5. Вектор, длина которого равняется единице, называется единичным или ортом.

Определение 6. Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов и :

.

Определение 7. Векторы, расположенные на одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определение 8. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось l называется проекцией вектора на эту ось:

.

Если вектор образует с осью l острый угол, то , и проекция вектора положительна; если угол тупой, то проекция отрицательна; если вектор перпендикулярен оси l, то проекция равна нулю.

Свойства проекций:

;

;

.

7. Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Свойства скалярного произведения:

1) или ;

2) , если , или , или ;

3) ;

4) ;

5) .

Условие перпендикулярности двух векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равняется нулю:

.

Скалярное произведение векторов и можно выразить также формулами:

. (2)

Скалярные произведения ортов осей координат:

, .

Пусть векторы и заданы своими координатами: , . Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле

. (3)

Механический смысл скалярного произведения: работаА на прямолинейном участке пути равняется скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения :

. (4)

Нахождение проекции одного вектора на направление другого:

.

Угол между векторами и :

.

8. Векторное произведение векторов

Определение 1. Векторным произведениемвектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1).модуль вектора равняется произведению модулей векторов и на синус угла между ними, т.е.

, (1)

где – угол между векторами и ;

2).вектор перпендикулярен векторам и ;

3). векторы , и после приведения к общему началу ориентированы как орты (в правой системе координат образуют так называемую правую тройку векторов).

Векторное произведение на обозначается .

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) , если , или , или ;

3) ;

4) .

Векторные произведения координатных ортов , и :

,

.

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов и равен площадиSпараллелограмма, построенного на векторах и , т.е.

, (2)

соответственно, площадь треугольника, построенного на этих векторах, выражается формулой:

. (3)

Механический смыслвекторного произведения: определение момента силы , приложенной к точке М, относительно точкиА, находится по формуле:

. (4)

Векторное произведение векторов и удобнее всего находить по формуле

9. Смешанное произведение векторов

Определение 1. Смешанным произведением векторов , и называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. .

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемыхвекторов коллинеарны;

в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2) Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, т.е.

.

В силу этого свойства смешанное произведение векторов , и записывается в виде .

3) Смешанное произведение не изменится, если переставить перемножаемые векторы в круговом порядке:

.

4) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:

Пусть векторы заданы их разложениями по ортам:

; ; .

Тогда

(1)

Из свойства смешанного произведения трех векторов вытекает следующее: необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие .

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов , , : смешанное произведение трех векторов , , по модулю равняется объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

, (2)

Объем пирамиды, построенной на векторах , , :

.