1. Определители и их свойства

Определение 1.Определителем второго порядка, соответствующего таблице элементов , называется число, определяемое равенством

.

Определение 2.Определителем третьего порядка, соответствующего таблице элементов , называется число, определяемое равенством

(метод разложения по теореме Лапласа),

(правило Сариуса - правило «треугольников»).

2. Матрицы и действия над ними

Определение 1. МатрицейАразмера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, которая состоит из чисел или других математических выражений (которые называются элементами матрицы), , .

Если количество строк одинаково с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной порядка п, при матрица называется прямоугольной.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы, а элементы – вспомогательную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а другие - нулю, называется единичной.

Определение 2.Рангом матрицы называют наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы обозначают или или просто . Ранг матрицы можно находить методом элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называют такие действия:

1) перестановка строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Все эти преобразования не изменяют ранг матрицы, но с их помощью матрицу сводят к матрице, у которой ниже главной диагонали все элементы – нули. Тогда ранг матрицы равняется количеству элементов главной диагонали, отличных от нуля.

3. Системы линейных алгебраических уравнений

Определение 1. Система алгебраических уравнений называется линейной, если она может быть записана в виде

(1)

где – неизвестные; – действительные числа, называющиеся коэффициентами системы; – свободные от неизвестных члены (правые части уравнений).

Определение 2.Решением системы (1) называется множество действительных чисел , подстановка которых в систему вместо неизвестных , превращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение 3. Система линейных алгебраических уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной, а система, которая не имеет решения, называется несовместной.

Определение 4. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Определение 5. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же множество решений.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Определение 6. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как … является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Правило Крамера

Если основной определитель матрицы А неоднородной системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными не равняется нулю, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формуле

,

где — вспомогательный определитель, который получается из основного определителя путем замены его k-го столбца столбцом свободных членов системы.

Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений из тремя неизвестными методом Крамера:

Для нахождения , , применим формулы Крамера:

, , ,

где – определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:

.

получен путем замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:

. ; .