2.2 Загальні поняття про синтез комбінаційного пристрою

Завдання комбінаційного пристрою зводиться до завдання тих функцій, які воно має реалізувати. Число функцій визначається числом виходів комбінаційного пристрою.

Процес синтезу комбінаційних пристроїв складається з 2-х етапів.

Абстрактний синтез

• Абстрактний синтез включає:

• формування завдання, словесний опис функцій пристрою, визначення типу пристрою;

• опис пристрою на формалізованих мовах: таблиця істинності, карта Карно, аналітичний вираз і т.д.;

• мінімізація булевих функцій;

• побудова логічної схеми пристрою.

Схемний синтез

• перехід в необхідний базис;

• побудова принципової схеми;

• розробка монтажної схеми;

• виготовлення пристрою і його випробування.

В результаті випробувань здійснюються коректування схеми та підготовка технічної документації.

2.3 Поняття Булевої алгебри

Булева алгебра (алгебра логіки) – застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

• ^ («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,

• ˅ («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції

та унарною операцією x чи («булеве доповнення») — узагальнення заперечення;

що задовільняють такі аксіоми:

Логіка – це наука про закони і форми мислення. Математична логіка – це наука про застосування математичних методів для вирішення логічних завдань.

В алгебрі логіки дії виконуються не над числами, а над логічними висловами. Вислови – це будь-яке зауваження по об’єктивно існуючому … . Вони можуть співпадати з дійсністю або не співпадати з дійсністю, в якій щось затверджує. В першому випадку воно істинне, в другому помилкове. Якщо позначити різні вислови буквами х₀, х₁, х₂ … х_n то в загальному випадку якщо х₁ = 1, то вислів істинний, якщо х_n = 0 – помилковий. Завершення будь-якої події (наприклад, наявність високої напруги в якійсь точці схеми – символ «1». Він називається логічною одиницею. Відсутність події (кнопка не натиснута) – «0» логічний нуль.

Логічні дії в алгебрі логіки:

1. Логічне додавання – диз’юнкція v (x₁ v x₂)

2. Логічне множення – кон’юнкція * (х₁ * х₂)

3. Інверсія (операція НЕ)

Логічний елемент – це електронний пристрій, що реалізовує одну з логічних операцій.

Це три логічні елементи, на яких базується вся мікросхемотехника. Саме за допомогою них я буду розроблювати перший варіант комбінаційного пристрою.

Логічну функцію можна подавати трьома способами:

1. Словесно

2. Аналітично (за допомогою формули)

3. Таблично

Словесний спосіб. Наприклад, функцію логічної операції І можна описати словами так: функція приймає значення 1 (істинно), якщо усі аргументи одночасно приймають значення 1. Інший приклад. Логічна функція трьох змінних Y=f(X₁ , X₂ ,X₃ ) приймає значення одиниці в разі, якщо дві чи більше змінних приймають значення одиниці. Така функція описує дію мажоритарного елемента “2 із 3-х”.

Аналітичній спосіб. Логічну функцію записують у вигляді рівняння. Електронні схеми розробляють на основі заздалегідь складених логічних функцій (рівнянь).

Табличний спосіб. Усі можливі комбінації вхідних змінних (Х₁ , Х₂ , ... , Х_n ) і відповідні їм значення функції Y можна представити таблицею, яка називається таблицею істинності.

На практиці застосовують різні форми запису. Існує нормальна форма запису булевої функції – це елементарна кон’юнкція чи диз’юнкція. Наприклад, f=x₁x₂, f=x₁˅x₂. Записуються така форма КНФ та ДНФ відповідно. Будь-яка логічна функція може мати декілька ДНФ і КНФ. Існують такі види ДНФ (КНФ), в яких функція може бути записана єдиним способом. Ці форми називають досконалими нормальними формами ДДНФ і ДКНФ відповідно.

Нормальна форма – це елементарна диз’юнкція або кон’юнкція:

F = x₁ v x₂

F = x₁x₂

Диз’юнктивна нормальна форма (ДНФ) уявляє собою диз’юнкції елементарних кон’юнкцій:

F_ДНФ = _{1 2} v ₁ х₂

Кон’юнктивна нормальна форма (КНФ) уявляє собою елементарні диз’юнкції, об’єднані знаком кон’юнкції:

F_КНФ = (х₁ v ₂) (х₁ v x₂)

Досконала диз’юнктивна нормальна форма булевої функції (ДДНФ) – це сума елементарних добутків, в яких кожна змінна зустрічається рівно один раз або із запереченням, або без нього і для яких значення функції дорівнює одиниці.

Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ) – це добуток елементарних сум, в яких кожна змінна зустрічається рівно один раз і для яких функція дорівнює нулю.

Х1	Х2	f
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Логічний елемент диз’юнктор виконує операцію диз’юнкцію

Логічний елемент АБО

Логічний елемент кон’юнктор виконує операцію кон’юнкцію

Х1	Х2	f
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логічний елемент І

Логічний елемент інвертор виконує операцію інверсію

Х	f
0	1
1	0

Логічний елемент НЕ

2.4Мінімізація

Метою мінімізації логічної функції є зменшення вартості її технічної реалізації. В теорії логічних схем логіка роботи елементів, вузлів чи пристроїв в

цілому відображається алгебраїчними формулами, що дає можливість

визначити значення вихідних двійкових змінних в цій схемі при всіх

можливих комбінаціях вхідних двійкових змінних; а при синтезі логічної

схеми - перетворити формулу до вигляду, відповідно до найбільш простої

Розрізняють аналітичні і графічні методи.

Аналітичний – полягає в послідовному застосуванні деяких законів і тотожностей Булевої алгебри.

До основних законів алгебри логіки відносяться:

1. Комутативний (закон перестановки)

– для диз’юнкції,

– для кон’юнкції.

2. Асоціативний (закон сполучення)

– для диз’юнкції,

– для кон’юнкції.

3. Дистрибутивний (закон розподілу)

– для диз’юнкції,

– для кон’юнкції.

Перевірка цього закону для кон’юнкції при х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 0: ліва частина 1∙1 Ú 0 = 1; права частина (1Ú0)(1Ú0)=1.

4. Інверсії (правило де Моргана)

– для диз’юнкції,

– для кон’юнкції.

До допоміжних законів алгебри логіки відносять закони:

1. Подвійної інверсії (подвійного заперечення)

2. Повторення (індемпотентності)

; , піднесення до степеня в алгебрі логіки немає сенсу.

3. Суперечності .

4. Виключення третього .

5. Склеювання ,

.

6. Поглинання ,

.

За допомогою цих законів можна виконувати різні перетворення булевих функцій.

Метод мінімізації логічних функцій за допомогою карт Карно:

• Карта Карно або карта (діаграма) Вейча - графічний спосіб мінімізації функцій алгебри логіки.

• Карти Карно зручні при невеликому числі змінних.

• Карти Карно являють собою певну таблицю істинності зазвичай для двох, трьох і чотирьох змінних і відрізняються один від одного способом позначення рядків і стовпців таблиць істинності.

На мал. 1 представлені карти Вейча для двох,

трьох і чотирьох змінних відповідно. мал.1

Розташування груп змінних x не має значення, необхідно лише, щоб кожна клітина відрізнялася від будь-якої сусідньої лише на одну змінну. Згідно прийнятій формі побудови карт сусідніми також вважаються клітини перших та останніх рядків, клітини перших і останніх стовпців. Число клітин карти дорівнює числу можливих комбінацій значень змінних (термів) і в кожну клітину записується значення логічної функції, відповідне даному набору змінних. Якщо якась із можливих комбінацій присутня в досконалої диз'юнктивної нормальній формі (ДДНФ) запису функції, то у відповідній клітині карти Карно ставиться «1». Якщо якогось терма в отриманій функції немає, то у відповідній клітині карти Карно ставиться «0»