29. Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математического ожидания меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность того, что выполняется неравенство .

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от своего мат. ожидания по модулю не больше положительного числа , равна

Если в качестве взять утроенное значение среднего квадратического отклонения , то получим:

Правило трех сигм

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. В этом и состоит сущность правила «трех сигм».

30. Совместная функция распределения двух случайных величин. Независимые случайные величины. Мат. Ожидание и дисперсия независимых случайных величин.

Совместная функция распределения двух случайных величин

Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , называется совместной функцией распределения двух случайных величин = .

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин

1. Значения совместной функции распределения удовлетворяют неравенству:

.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

, если ;

, если .

Совместная функция распределения имеет следующие предельные значения:

; ;

; .

3. При или совместная функция распределения системы становится функцией распределения одной из составляющих: ;

Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Теорема. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы ( , ) была равна произведению функций распределения составляющих: .

Следствие. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы ( , ) была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Для независимых случайных величин справедливы соотношения

.

31. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства.

Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

.

Зная плотность совместного распределения , можно найти совместную функцию распределения по формуле

следующей из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D равна двойному интегралу по области D от функции :

Свойства двумерной плотности вероятности

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице: .