12. Формула Байеса

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых ( ) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности ( ). Требуется найти вероятности событий если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Задача состоит в том, что, имея новую информацию (событие A произошло), нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

,

откуда

или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.

13. Основные понятия комбинаторики. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, сочетания и формулы для их вычисления.

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.

Правила суммы и произведения.

Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих элементов можно выбрать n+m способами.

Правило произведения – если элемент а может быть выбран способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать m способами, то пару (ab) из этих элементов в указанном порядке можно выбрать nm способами.

Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Число перестановок определяется формулой :

Неупорядоченные наборы из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле

14. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого . Вероятность того, что событие наступит в испытаниях, определяется по формуле Бернулли

.

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .Следует отметить, что наивероятнейших чисел может быть два или одно в зависимости от того, является np+p целым числом или нет. Если это число нецелое, то наивероятнейшее число (целая часть), в противном случае имеется два значения и

15. Теорема Пуассона.

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна

, где .

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Интенсивностью потока называют среднее число событий в единицу времени. Пуассоновским называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействий и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчёта.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка, т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени маловероятно по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Если интенсивность простейшего потока известна, то вероятность появления событий за время определяется формулой