7. Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятности – вероятности попадания точки в некоторую область ( отрезок, часть плоскости и т.д.).

В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть представлено областью , а под событием можно понимать исходы, входящие в некоторую область , принадлежащую области .

Пусть на область наугад бросается “точка”. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?

1. Пусть отрезок длины , составляет часть отрезка длина которого . На отрезок наудачу поставлена точка. Предполагается, что

• поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;

• вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .

Тогда вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством .

2. Пусть плоская фигура с площадью составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру наудачу брошена точка. Предполагается, что:

• брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;

• вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры , ни от формы .

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру определяется равенством .

3. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема , содержащую область объема

:

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем и т.д.) через , а меру области – через . Тогда вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой:

.

Пример: в течение суток к причалу могут подойти 2 парохода. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать, если время разгрузки одного ид них равно 1 часу, а другого – 2 часам.

Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное событие и вероятность являются неопределяемыми понятиями. Приведем аксиомы системы Колмогорова

1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события A;

2. Вероятность достоверного события равна единице

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;

(конечное пространство элементарных событий)

(бесконечное пространство элементарных событий)

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Вероятностное пространство

Будем говорить, что задано вероятностное пространство, если задано пространство элементарных исходов , сигма алгебра и для каждого элементарного события задана его вероятность.

Иначе говоря, Вероятностным пространством называется тройка ( , где - вероятностная мера на .