
- •1. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных событий. Достоверное и невозможное событие.
- •Пространство элементарных событий.
- •2. Операции над событиями (сумма, разность, произведение). Совместные и несовместные события. Противоположное событие. Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •3. Свойства операций над событиями.
- •4. Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •5. Классическое определение вероятности события.
- •6. Статистическое определение вероятности события.
- •7. Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •8. Понятие о полной группе событий.
- •9. Формула сложения вероятностей для совместных и несовместных событий
- •10. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.
- •Формула умножения вероятностей.
- •Независимость событий.
- •11. Формула полной вероятности.
- •12. Формула Байеса
- •13. Основные понятия комбинаторики. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, сочетания и формулы для их вычисления.
- •Правила суммы и произведения.
- •14. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
- •15. Теорема Пуассона.
- •16. Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •17. Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •18. Случайная величина и ее функция распределения. Свойства функции распределения.
- •19. Непрерывные и дискретные случайные величины.
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •20. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.Е. Приближенно равно ее среднему значению
- •21. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •23. Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
- •24. Распределение Пуассона, его мат. Ожидание и дисперсия
- •25. Равномерное распределение, его мат. Ожидание и дисперсия.
- •26. Показательное распределение, его мат.Ожидание и дисперсия.
- •27. Нормальное распределение. Свойства функции Гаусса
- •Свойства функции Гаусса.
- •28. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •29. Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •30. Совместная функция распределения двух случайных величин. Независимые случайные величины. Мат. Ожидание и дисперсия независимых случайных величин.
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •31. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства.
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •32. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
- •Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка, объем выборки.
- •34. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Полигон и гистограмма.
- •35. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •36. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок.
- •37. Выборочные среднее и дисперсия.
- •38. Надежность и доверительный интервал.
- •39. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •40. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
- •41. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
- •42. Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы, статистический критерий. Ошибки первого и второго рода.
- •43. Этапы проверки статистической гипотезы.
- •44. Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
- •45. Понятие о регрессионной зависимости случайных величин. Парная и множественная регрессии.
- •46. Выборочные уравнения регрессии.
- •47. Линейная регрессия. Нахождение коэффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов.
- •48. Понятие о множественной линейной регрессии.
- •49. Корреляционная матрица.
- •54. Нелинейная регрессия. Логарифмическая, обратная, степенная, и показательные модели нелинейной регрессии.
- •55. Понятие о цепях Маркова. Однородные цепи Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода.
- •56. Равенство Маркова. Расчет вероятностей состояния системы с использованием матрицы перехода.
- •57. Понятие о цепях Маркова с непрерывным временем.
- •58. Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности цепей Маркова с непрерывным временем.
- •59. Понятие о схеме гибели и размножения. Расчет вероятностей состояний.
- •60. Понятие о системах массового обслуживания.
56. Равенство Маркова. Расчет вероятностей состояния системы с использованием матрицы перехода.
.
Эту формулу называют равенством Маркова.
Зная
все переходные вероятности
,
т.е. зная матрицу перехода
из состояния в состояние за один шаг,
можно найти вероятности
перехода из состояния в состояние за
два шага, а значит, и саму матрицу перехода
,
далее – по известной матрице
– найти
и т.д.
Действительно, полагая в равенстве Маркова n=2, m=1 получим:
или
.
В матричном виде это можно записать,
как
.
Полагая
n=3,
m=2,
получим
.
В общем случае справедливо соотношение
.
Если
для однородной цепи Маркова заданы
начальное распределение вероятностей
и матрица перехода, то вероятности
состояний системы на n-м
шаге
вычисляются
по рекуррентной формуле:
.
57. Понятие о цепях Маркова с непрерывным временем.
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
Требуется
определить для любого момента времени
вероятности состояний
.
При этом, очевидно, должно выполняться
условие нормировки:
.
Для
процесса с непрерывным временем вместо
переходных
вероятностей
рассматриваются плотности
вероятностей перехода
,
представляющие собой предел отношения
вероятности перехода системы за время
из состояния
в состояние
к величине
:
, (1)
где
– вероятность того, что система,
пребывавшая в момент
в состоянии
,
за время
перейдет из
него в состояние
;
при этом всегда
.
Если
,
то процесс называется однородным,
если же
,
то – неоднородным.
При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято считать, что переходы системы происходят под влиянием некоторых потоков событий.
Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим через какие-то случайные интервалы времени. Как правило, в графе состояний над стрелками проставляют соответствующие переходам интенсивности . Такой граф называют размеченным. (это такие кружочки с S1, S2…. Внутри и стрелками от одного к другому)
58. Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности цепей Маркова с непрерывным временем.
В случае марковской системы с непрерывным временем и конечным числом состояний их вероятности могут быть найдены с помощью решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова:
, (2)
где
.
Величина
называется потоком
вероятности перехода
из состояния
в состояние
.
Решение
системы уравнений Колмогорова необходимо
задать начальное распределение
вероятностей
.
Уравнения Колмогорова составляют по
размеченному графу состояний системы,
пользуясь следующим правилом: производная
вероятности каждого состояния равна
сумме всех потоков вероятности, идущих
из других состояний в данное состояние,
минус сумма всех потоков вероятности,
идущих из данного состояния в другие.
Если
процесс, протекающий в системе, длится
достаточно долго, то имеет смысл говорить
о предельном поведении вероятностей
при
.
финальные (предельные) вероятности состояний:
,
.,
не
зависящие от того, в каком состоянии
система находилась в начальный момент.
Говорят, что в системе устанавливается
предельный
стационарный режим,
при котором она переходит из состояния
в состояние, но вероятности состояний
уже не меняются
во времени.
Система, для которой существуют финальные
состояния, называется эргодической,
а соответствующий случайный процесс –
эргодическим.
Финальные вероятности системы могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова.
состояния марковской системы с непрерывным временем существуют при следующих условиях:
плотности вероятности всех переходов не должны зависеть от времени
;
из любого состояния системы возможен переход в любое другое состояние за конечное число шагов.